Identités remarquables : formules, démonstration et exercices

Les identités remarquables sont trois égalités qui reviennent partout en maths, du brevet aux concours. Elles transforment un produit en somme quand tu développes, et une somme en produit quand tu factorises. Maîtrisées, elles te font gagner du temps et t'évitent des dizaines de lignes de calcul.

Cet article te donne tout : les trois formules et leur intuition, la démonstration algébrique mais aussi la preuve géométrique par les aires (celle qui fait vraiment comprendre), la méthode pour développer et factoriser sans confondre les motifs, les applications (calcul mental, équations, discriminant en Première) et des exercices corrigés du collège au lycée. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes erreurs de signe et de double produit chaque année : on les liste pour que tu les évites.

Les trois identités remarquables

Pour tous les nombres réels $a$ et $b$, on a les trois égalités suivantes :

Les deux premières donnent le carré d'une somme et le carré d'une différence. La troisième, la différence de deux carrés, est la plus précieuse pour factoriser.

Une remarque utile : les deux premières formules n'en font qu'une. Remplace $b$ par $-b$ dans $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et tu obtiens directement $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Pas besoin de mémoriser deux résultats séparés : tu retiens le carré d'une somme, et le signe du double produit suit le signe entre $a$ et $b$.

Démonstration · algébrique et géométrique

Chaque identité se démontre en une ligne par double distributivité (la règle « chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second »).

Carré d'une somme. On écrit $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$ et on développe :

Le double produit $2ab$ vient des deux termes croisés $ab$ et $ba$, égaux car la multiplication est commutative.

Différence de deux carrés. Même méthode, les termes croisés se compensent :

C'est cette compensation du terme central qui rend la formule si utile : le résultat n'a que deux termes.

Preuve géométrique par les aires. Pour $(a+b)^2$ avec $a, b > 0$, on trace un carré de côté $a+b$. Son aire vaut $(a+b)^2$. On le découpe en quatre morceaux : un carré de côté $a$ (aire $a^2$), un carré de côté $b$ (aire $b^2$), et deux rectangles de dimensions $a \times b$ (aire $ab$ chacun).

L'aire totale se conserve : $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$. Les deux rectangles rendent visible pourquoi le double produit existe : oublier le $2ab$, c'est oublier deux rectangles entiers du dessin.

Développer ou factoriser : reconnaître le sens

Une identité remarquable se lit dans les deux sens. C'est toute sa puissance, et c'est aussi ce qui déroute au début. Le sens choisi dépend de ce qu'on te demande.

Le piège du sens factorisation, c'est de repérer le carré caché. $9x^2$ est un carré : c'est $(3x)^2$. $49$ est un carré : c'est $7^2$. Donc $9x^2 - 49 = (3x)^2 - 7^2 = (3x+7)(3x-7)$. L'entraînement consiste à voir instantanément que $25$, $16$, $x^4$ ou $\tfrac{1}{4}$ sont des carrés.

Développer, factoriser, réduire : ces automatismes du programme de maths de 3e conditionnent toute la suite. On les réinvestit sans arrêt dès l'entrée en Seconde.

L'application vedette : le calcul mental

L'usage le plus spectaculaire des identités remarquables, c'est de calculer de tête des produits qui paraissent compliqués. L'idée : casser un nombre proche d'une valeur ronde en somme ou différence.

Exemple pivot : $101^2$. On écrit $101 = 100 + 1$, puis on applique $(a+b)^2$ avec $a = 100$ et $b = 1$ :

Même mécanique avec une différence pour $99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$. Et la différence de deux carrés transforme un produit en une soustraction facile, par exemple $103 \times 97$ :

Factoriser pour résoudre : équations et discriminant

Résoudre une équation par factorisation

Une équation du type $x^2 = 25$ se résout d'un coup grâce à la différence de deux carrés. On ramène tout à zéro, on factorise, on applique la règle du produit nul (un produit est nul si l'un des facteurs est nul) :

De même, $x^2 + 6x + 9 = 0$ se reconnaît comme $(x+3)^2 = 0$, dont l'unique solution est $x = -3$. La factorisation transforme une équation en un simple produit de facteurs.

La forme canonique et le discriminant en Première

En Première spécialité maths, l'identité $(a+b)^2$ sert à établir la forme canonique d'un trinôme du second degré. L'idée, appelée « complétion du carré », consiste à faire apparaître un carré parfait. Prenons $x^2 + 6x + 5$ :

On ajoute et on retranche le carré qui manque ($9$) pour compléter $(x+3)^2$. C'est ce mécanisme, appliqué au trinôme général $ax^2 + bx + c$, qui fait apparaître le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et les formules des racines. Le discriminant n'est pas lui-même une identité remarquable : c'est une conséquence de la complétion du carré.

5 erreurs classiques à éviter

Autour des identités remarquables, les mêmes fautes reviennent copie après copie, du brevet à la Sup. Les voici, à éliminer une bonne fois.

1. Oublier le double produit. Écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ est l'erreur numéro un. Il manque le $2ab$. Le carré d'une somme n'est jamais la somme des carrés.
2. Se tromper de signe dans $(a-b)^2$. C'est $a^2 - 2ab + b^2$ : le double produit est négatif, mais le $b^2$ reste positif (un carré est toujours positif). L'erreur fréquente : écrire $a^2 - 2ab - b^2$.
3. Confondre $a^2 - b^2$ et $(a-b)^2$. Deux expressions distinctes. $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ (différence de carrés) ; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (carré d'une différence). Elles n'ont rien à voir.
4. Croire que $a^2 + b^2$ se factorise. La somme de deux carrés ne se factorise pas avec les identités du collège. Seule la différence $a^2 - b^2$ se factorise. Face à un $+$, pas d'identité remarquable de factorisation.
5. Oublier de repérer le carré caché. Dans $9x^2 - 16$, il faut voir $(3x)^2 - 4^2$. Beaucoup d'élèves ne factorisent pas parce qu'ils ne reconnaissent pas $9x^2$ et $16$ comme des carrés. L'entraînement à repérer les carrés est décisif.

4 exercices corrigés · 3e → Première

Exercice 1, Développer · niveau 3e

Énoncé. Développer et réduire $A = (2x + 3)^2$.

Solution. On applique $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 3$. Attention : $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$, et le double produit est $2 \times 2x \times 3 = 12x$.

Exercice 2, Factoriser · niveau 3e

Énoncé. Factoriser $B = 25x^2 - 49$.

Solution. On reconnaît une différence de deux carrés : $25x^2 = (5x)^2$ et $49 = 7^2$. Donc avec $a = 5x$ et $b = 7$ :

Vérification en développant : $(5x+7)(5x-7) = 25x^2 - 35x + 35x - 49 = 25x^2 - 49$. ✓

Exercice 3, Résoudre une équation · niveau 3e / 2de

Énoncé. Résoudre $x^2 + 8x + 16 = 0$.

Solution. Le membre de gauche est un carré parfait : $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \times 4 \times x + 4^2 = (x+4)^2$. L'équation devient :

L'équation admet une unique solution : $x = -4$.

Exercice 4, Forme canonique · niveau Première spé

Énoncé. Écrire $f(x) = x^2 - 10x + 21$ sous forme canonique, puis en déduire ses racines.

Solution. On complète le carré. Le terme central $-10x$ correspond au double produit $2 \times (-5) \times x$, donc le carré à reconstituer est $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$. On ajoute et on retranche $25$ :

On reconnaît alors une différence de deux carrés, $4 = 2^2$, ce qui donne les racines :

Une seule idée, la complétion du carré, relie ici le collège et le second degré du lycée. C'est exactement ce fil conducteur que nos profs Hadamard, anciens taupins passés par l'X et CentraleSupélec, déroulent avec les élèves pour que la forme canonique et le discriminant ne soient jamais des formules apprises par cœur, mais des résultats qu'on sait retrouver.

Ce qu'il faut retenir

• Les trois formules : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
• Le double produit $2ab$ est le terme qu'on oublie : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$.
• Deux sens : développer (produit → somme) et factoriser (somme → produit). Seule la différence de carrés se factorise, pas la somme.
• Le réflexe factorisation : repérer deux carrés, puis vérifier le double produit.
• Les applications : calcul mental ($101^2 = 10201$), résolution d'équations, forme canonique et discriminant en Première.
• Ancrage programme : attendu de 3e (développer et factoriser), réinvesti en Seconde, exploité en Première spé maths.

Les identités remarquables ne sont pas un chapitre isolé : elles sont l'un des outils de calcul les plus réutilisés de tout le secondaire, jusqu'en prépa. Les travailler tôt et bien, c'est se libérer l'esprit pour les vraies difficultés. Elles s'inscrivent dans la continuité des automatismes de calcul du programme de 3e et de Seconde.