Fonction exponentielle : propriétés et exercices corrigés

La fonction exponentielle est la vedette du programme de Terminale : elle intervient dans les limites, les équations différentielles, les probabilités continues, la physique et l'économie. Sa force tient à une propriété unique en son genre, elle est égale à sa propre dérivée. Une fois cette idée digérée, tout le reste, propriétés algébriques, variations, limites, s'en déduit presque mécaniquement.

Cet article te donne l'essentiel pour la maîtriser : la définition exacte et son intuition, les propriétés algébriques (dont la fameuse relation $e^{a+b} = e^a e^b$), la démonstration attendue à l'oral, la dérivée et les variations, les limites et croissances comparées, l'allure de la courbe, la résolution d'équations et d'inéquations, et des exercices corrigés de niveau croissant. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient revenir les mêmes réflexes maladroits sur les copies, on les pointe pour que tu les évites.

Définition de la fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant les deux conditions :

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, on la note $\exp$, et on écrit $\exp(x) = e^x$. Le nombre $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ est la base de l'exponentielle.

Deux conséquences immédiates, à connaître par cœur :

• La fonction exponentielle ne s'annule jamais : $e^x \neq 0$ pour tout réel $x$ (on le démontre juste après).
• Elle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Les propriétés algébriques

L'exponentielle transforme les sommes en produits. C'est la propriété centrale, celle dont dépendent toutes les autres. Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

Le lien avec le logarithme népérien complète le tableau : $\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$. On a $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$. Là où l'exponentielle change les sommes en produits, le logarithme fait l'inverse.

Démonstration de la relation fonctionnelle

La démonstration de $e^{a+b} = e^a e^b$ est un classique de l'oral et une capacité attendue en Terminale. Elle repose sur une astuce simple : construire une fonction auxiliaire dont la dérivée est nulle, donc constante. On note $\exp = f$ pour alléger, avec $f' = f$ et $f(0) = 1$.

Étape 1, l'exponentielle ne s'annule pas. Posons $h(x) = f(x)\,f(-x)$. En dérivant (dérivée d'un produit, avec $\bigl(f(-x)\bigr)' = -f'(-x)$) :

car $f' = f$. Donc $h$ est constante sur $\mathbb{R}$, égale à $h(0) = f(0)^2 = 1$. On en tire $f(x)\,f(-x) = 1$ pour tout $x$ : $f$ ne peut donc jamais s'annuler, et $f(-x) = \dfrac{1}{f(x)}$.

Étape 2, la relation fonctionnelle. Fixons un réel $a$ et posons $g(x) = f(a+x)\,f(-x)$. En dérivant :

Donc $g$ est constante, égale à $g(0) = f(a)\,f(0) = f(a)$. Ainsi $f(a+x)\,f(-x) = f(a)$ pour tout $x$. En prenant $x = b$ et en utilisant $f(-b) = 1/f(b)$ (étape 1) :

Dérivée et variations

Par définition même, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle :

La formule vraiment utile en pratique est celle de la composée. Si $u$ est une fonction dérivable, alors $e^{u}$ est dérivable et :

Cette règle est un cas particulier de la dérivée d'une fonction composée, revois notre article sur la dérivée et les formules de dérivation si le mécanisme te semble flou. Quelques dérivées types :

Variations. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, la dérivée $\bigl(e^x\bigr)' = e^x$ est strictement positive partout. La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites et croissances comparées

Les limites aux bornes de $\mathbb{R}$ dessinent l'allure de la courbe :

En $-\infty$, la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses : la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$. En $+\infty$, l'explosion est telle que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. Ce sont les croissances comparées, indispensables pour lever les formes indéterminées (revois notre méthode sur le calcul de limites) :

Une dernière limite, souvent oubliée, traduit simplement que la dérivée en 0 vaut 1 (le taux d'accroissement en 0) :

La courbe représentative

Rassemblons tout ce qui précède pour tracer la courbe de $x \mapsto e^x$ :

• Elle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses ($e^x > 0$) et passe par le point $(0, 1)$.
• Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (dérivée $e^x > 0$).
• La tangente en 0 a pour équation $y = x + 1$ (coefficient directeur $e^0 = 1$, ordonnée à l'origine $1$).
• La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$.
• La courbe est convexe : sa dérivée seconde $\bigl(e^x\bigr)'' = e^x$ est positive, donc la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.

De la convexité découle une inégalité utile, à connaître : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0, donc

avec égalité uniquement en $x = 0$. Cette inégalité sert de point de départ à beaucoup de démonstrations de croissances comparées et d'encadrements.

Équations et inéquations

Comme l'exponentielle est strictement croissante, elle conserve les égalités et les inégalités entre exposants. Pour tous réels $a$ et $b$ :

Deux stratégies couvrent la quasi-totalité des exercices :

• Ramener à une même exponentielle, puis identifier les exposants. Exemple : $e^{2x+1} = e^{x-3} \iff 2x + 1 = x - 3 \iff x = -4$.
• Poser un changement d'inconnue $X = e^x$ (avec la contrainte $X > 0$) quand plusieurs exponentielles apparaissent. On se ramène à une équation algébrique.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS et au bac, les mêmes fautes reviennent chaque année. Les repérer, c'est déjà gagner des points.

1. Écrire $e^{a+b} = e^a + e^b$. Faux. L'exponentielle transforme la somme en produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$. C'est l'erreur numéro un.
2. Oublier le $u'$ dans la dérivée de $e^{u}$. La dérivée de $e^{2x}$ n'est pas $e^{2x}$ mais $2e^{2x}$. La règle est $\bigl(e^{u}\bigr)' = u'\,e^{u}$, le facteur $u'$ n'est jamais optionnel.
3. Chercher les $x$ tels que $e^x = 0$. Il n'y en a aucun : $e^x > 0$ pour tout réel $x$. Une équation qui aboutit à $e^x = -2$ ou $e^x = 0$ n'a pas de solution.
4. Se tromper de sens dans une inéquation. Comme $\exp$ est croissante, $e^a < e^b \iff a < b$ (le sens est conservé). Attention si tu composes ensuite par une fonction décroissante, le sens s'inverse à cette étape-là, pas avec l'exponentielle.
5. Croire qu'une forme indéterminée n'a pas de limite. $\dfrac{e^x}{x}$ en $+\infty$ n'est pas indéfini : par croissances comparées, la limite est $+\infty$. Le réflexe « exponentielle l'emporte » lève l'indétermination.

4 exercices corrigés · niveau croissant

Exercice 1, simplification algébrique

Énoncé. Simplifier $A = \dfrac{e^{3x}\,e^{-x}}{e^{x+1}}$.

Solution. On applique les règles somme/produit. Au numérateur, $e^{3x}\,e^{-x} = e^{3x - x} = e^{2x}$. Puis le quotient :

Résultat : $A = e^{x-1}$.

Exercice 2, équation

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$.

Solution. On pose $X = e^{x}$, avec $X > 0$. Comme $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$, l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$, d'où les racines :

Les deux racines sont strictement positives, on les garde. On revient à $x$ via $x = \ln X$ :

Ensemble des solutions : $S = \{\,0,\ \ln 2\,\}$.

Exercice 3, étude de fonction

Énoncé. Soit $f(x) = (x - 1)\,e^{x}$ sur $\mathbb{R}$. Étudier ses variations et déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Solution. $f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables. Avec $u = x - 1$ ($u' = 1$) et le facteur $e^x$ :

Comme $e^{x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$ puis croissante sur $[0, +\infty[$, avec un minimum en $x = 0$ valant $f(0) = (0-1)e^0 = -1$.

Pour la limite en $-\infty$, on développe $f(x) = x\,e^{x} - e^{x}$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0$, donc :

Résultat : minimum $-1$ en $0$, et la courbe s'approche de l'axe des abscisses en $-\infty$.

Exercice 4, inéquation et croissances comparées

Énoncé. Résoudre $e^{x} \geq 1$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$.

Solution. Pour l'inéquation, $1 = e^{0}$, donc $e^{x} \geq e^{0}$. Par stricte croissance de l'exponentielle, cela équivaut à $x \geq 0$. L'ensemble des solutions est $[0, +\infty[$.

Pour la limite, on factorise le dénominateur par $x^2$ : $x^2 + 1 = x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$. Ainsi :

Par croissances comparées, $\dfrac{e^{x}}{x^{2}} \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, tandis que $\dfrac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$. Le produit tend donc vers $+\infty$ :

Ces automatismes, factoriser par le terme dominant et invoquer les croissances comparées, sont exactement ceux que nos profs Hadamard, passés par les prépas de l'X et de CentraleSupélec, entraînent en priorité : ils reviennent à chaque contrôle de Terminale et dès les premières semaines de Sup.

Ce qu'il faut retenir

• La définition : $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. Tout en découle.
• Les propriétés : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{-a} = 1/e^a$, $e^{a-b} = e^a/e^b$, $(e^a)^n = e^{na}$. Mêmes règles que les puissances.
• La dérivée : $(e^x)' = e^x$ et $(e^u)' = u'\,e^u$. L'exponentielle est strictement croissante car $e^x > 0$.
• Les limites : $0$ en $-\infty$, $+\infty$ en $+\infty$, et les croissances comparées $e^x/x^n \to +\infty$, $x^n e^x \to 0$.
• Les équations : $e^a = e^b \iff a = b$ ; poser $X = e^x > 0$ pour les équations à plusieurs exponentielles.
• Le lien avec $\ln$ : fonctions réciproques, $e^{\ln x} = x$ et $\ln(e^x) = x$.

L'exponentielle est le socle d'une bonne partie de l'analyse de Terminale et de prépa : équations différentielles, lois de probabilité continues, séries entières en deuxième année. Pour situer ce chapitre dans l'ensemble de l'année, consulte notre panorama du programme de maths de Terminale spécialité, et travaille en parallèle sa fonction réciproque avec notre article sur le logarithme népérien.