Logarithme népérien : propriétés et exercices corrigés

Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction qui transforme les produits en sommes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. C'est la réciproque de l'exponentielle, et c'est l'outil qui débloque toutes les équations où l'inconnue se cache dans un exposant. Sans $\ln$, tu sèches devant $2^x = 100$. Avec $\ln$, tu descends l'exposant et tu résous en une ligne.

Cet article te donne tout le nécessaire : la définition comme réciproque de $\exp$, les propriétés algébriques et leur démonstration, la dérivée $1/x$ et les variations, les limites et croissances comparées qui piègent aux concours, la méthode pour résoudre équations et inéquations, et 4 exercices corrigés du niveau Terminale à la prépa. Nos profs Hadamard, anciens MPSI/PCSI passés par l'X, l'ENS et CentraleSupélec, voient les mêmes confusions revenir chaque année, on les liste pour que tu les évites.

Définition : la réciproque de l'exponentielle

La fonction exponentielle $\exp$ est continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ vers $]0, +\infty[$. Elle admet donc une fonction réciproque, définie sur $]0, +\infty[$ : c'est le logarithme népérien. Concrètement, pour tout réel $x > 0$ :

Autrement dit, $\ln(x)$ est l'exposant qu'il faut donner à $e$ pour retomber sur $x$. Deux valeurs sont à connaître par cœur, elles servent tout le temps :

Être réciproques, pour $\ln$ et $\exp$, se traduit par deux identités que tu utiliseras à chaque équation :

Graphiquement, la courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $\exp$ par rapport à la droite $y = x$. Elle coupe l'axe des abscisses en $x = 1$, plonge vers $-\infty$ quand $x$ s'approche de $0$, et monte lentement vers $+\infty$. Pour tout savoir sur sa réciproque, va voir notre article dédié à la fonction exponentielle et ses propriétés.

Les propriétés algébriques

Toute la puissance de $\ln$ tient dans une seule propriété, dite relation fonctionnelle. Les autres en découlent. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

De cette relation reine, on tire toutes les autres. Pour $a > 0$, $b > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

Démonstration de la relation fonctionnelle

Pourquoi $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ? La démonstration la plus limpide s'appuie sur le fait que $\ln$ est la réciproque de $\exp$, et sur la propriété reine de l'exponentielle : $e^{s+t} = e^{s}\,e^{t}$.

Étape 1, on part de l'exponentielle de la somme. Soit $a > 0$ et $b > 0$. On pose $s = \ln a$ et $t = \ln b$. Par définition du logarithme, $e^{s} = a$ et $e^{t} = b$. Alors :

Étape 2, on applique $\ln$. On vient de montrer que $e^{\ln a + \ln b} = ab$. Or, par définition, $\ln(ab)$ est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $ab$. Le nombre $\ln a + \ln b$ a exactement cette propriété. Par unicité :

Les autres formules se déduisent en cascade. Par exemple $\ln(1/b)$ : puisque $b \times (1/b) = 1$, on a $\ln b + \ln(1/b) = \ln 1 = 0$, d'où $\ln(1/b) = -\ln b$. Puis $\ln(a/b) = \ln\!\big(a \times \tfrac{1}{b}\big) = \ln a - \ln b$. Enfin $\ln(a^n) = n\ln a$ se prouve par récurrence sur $n$ à partir de la relation produit, un exercice classique du chapitre.

Dérivée et variations

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$, et sa dérivée est d'une simplicité remarquable :

On l'obtient en dérivant l'identité $e^{\ln x} = x$. En dérivant les deux membres (dérivée de composée à gauche) : $\ln'(x)\,e^{\ln x} = 1$, c'est-à-dire $\ln'(x)\,x = 1$, d'où $\ln'(x) = 1/x$. Comme $1/x > 0$ pour tout $x > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Cette stricte croissance a une conséquence pratique décisive : pour $a > 0$ et $b > 0$,

C'est ce qui autorise à « enlever les $\ln$ » dans une équation ou une inéquation, à condition d'avoir vérifié l'existence. Pour une fonction composée $\ln(u)$, où $u$ est dérivable et strictement positive :

Limites et croissances comparées

Aux bornes de son domaine, le logarithme a un comportement à connaître par cœur :

Attention au rythme : $\ln$ tend vers $+\infty$, mais très lentement. C'est précisément ce qu'affirment les croissances comparées, qui départagent $\ln$ et les puissances de $x$ dans les formes indéterminées :

Résoudre équations et inéquations

La méthode est toujours la même, en trois temps. Ne saute jamais le premier, c'est celui qui rapporte les points de rigueur.

1. Domaine. Écrire les conditions d'existence : tout ce qui est sous un $\ln$ doit être strictement positif. On obtient un intervalle de travail.
2. Regrouper puis simplifier. Utiliser les propriétés pour se ramener à $\ln(A) = \ln(B)$ (équation) ou $\ln(A) \leq \ln(B)$ (inéquation), puis passer à $A = B$ ou $A \leq B$ grâce à la stricte croissance.
3. Vérifier. Confronter chaque solution au domaine de l'étape 1. Toute solution hors domaine est rejetée.

Pour une équation en exposant du type $a^{x} = k$ avec $a > 0$ et $k > 0$, on applique $\ln$ des deux côtés : $x\ln a = \ln k$, d'où $x = \dfrac{\ln k}{\ln a}$. C'est le cas type des intérêts composés et de la désintégration radioactive.

5 erreurs classiques à éviter

Sur les copies de DS, de contrôles et de khôlles, les mêmes fautes reviennent autour du logarithme. Les voici, pour les éliminer tout de suite.

1. Confondre $\ln(a+b)$ et $\ln a + \ln b$. La formule ne marche que pour le produit. Il n'existe rien pour simplifier une somme sous un $\ln$. C'est l'erreur numéro un.
2. Oublier le domaine de définition. Résoudre $\ln(x-2) = \ln(3)$ sans noter $x > 2$ mène à accepter des solutions interdites. Le domaine s'écrit avant de calculer, pas après.
3. Écrire $\ln(x^2) = 2\ln x$ sans condition. C'est vrai seulement pour $x > 0$. La formule correcte sur $\mathbb{R}^{*}$ est $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$. Un signe de valeur absolue oublié coûte cher.
4. Se tromper de sens dans une inéquation. $\ln$ conserve le sens (fonction croissante), mais diviser ensuite par un $\ln a$ négatif (cas $0 < a < 1$) l'inverse. On vérifie le signe avant de diviser.
5. Croire que $\ln$ « annule » l'exponentielle sans condition. $e^{\ln x} = x$ n'est valable que pour $x > 0$ ; $\ln(e^x) = x$ vaut pour tout $x$ réel. Inverser les deux domaines est une faute fréquente.

4 exercices corrigés · Terminale → prépa

Exercice 1, Simplification, niveau Terminale

Énoncé. Exprimer $A = \ln(8) + \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right)$ en fonction de $\ln 2$.

Solution. On écrit $8 = 2^3$ et $\dfrac{1}{4} = 2^{-2}$. Par les propriétés de puissance :

Donc $A = \ln 2$. Autre voie : $8 \times \tfrac{1}{4} = 2$, donc $A = \ln 2$ directement par la relation produit.

Exercice 2, Équation, niveau Terminale spé

Énoncé. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3)$.

Solution. Domaine : il faut $x > 0$ et $x - 2 > 0$, donc $x > 2$. Sur cet intervalle, on regroupe le membre de gauche :

Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, les racines sont $x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$ et $x = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$. On confronte au domaine $x > 2$ : la solution $x = -1$ est rejetée, seule $x = 3$ convient.

Conclusion. $\mathcal{S} = \\{3\\}$. Vérification : $\ln 3 + \ln 1 = \ln 3 + 0 = \ln 3$. ✓

Exercice 3, Étude de fonction, niveau Terminale spé

Énoncé. Soit $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0, +\infty[$. Étudier ses variations et montrer que $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$.

Solution. $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$. Le dénominateur $x$ est positif, donc le signe de $f'$ est celui de $x - 1$ :

• Sur $]0, 1[$ : $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante.
• Sur $]1, +\infty[$ : $f'(x) > 0$, $f$ est croissante.

La fonction admet donc un minimum en $x = 1$, qui vaut $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$. Comme ce minimum vaut $1$ :

On en déduit au passage l'inégalité classique $\ln(x) \leq x - 1$ pour tout $x > 0$, très utile en prépa. Pour la technique de dérivation employée, vois notre article sur la dérivée et le calcul de dérivées.

Exercice 4, Inéquation avec changement d'inconnue, niveau Terminale spé / prépa

Énoncé. Résoudre dans $]0, +\infty[$ l'inéquation $2\bigl(\ln x\bigr)^2 - \ln x - 1 \leq 0$.

Solution. Le domaine est $x > 0$ (pas d'autre contrainte). On pose $X = \ln x$, ce qui transforme l'inéquation en un trinôme du second degré en $X$ :

Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9$, racines $X = \dfrac{1 + 3}{4} = 1$ et $X = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$. Le trinôme (coefficient dominant $2 > 0$) est négatif entre les racines :

On applique l'exponentielle, fonction croissante, aux trois membres (le sens est conservé) :

Conclusion. $\mathcal{S} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{e}}\,,\ e\right]$. Ce type de changement d'inconnue $X = \ln x$ est un réflexe attendu en Sup : il ramène une inéquation « logarithmique » à un banal second degré. Les jurys d'oraux, à l'X comme aux Mines, apprécient qu'on l'automatise sans hésiter.

Ce qu'il faut retenir

• Définition : $\ln$ est la réciproque de $\exp$ sur $]0, +\infty[$. $\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$, $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.
• Propriété reine : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Elle transforme produits en sommes et descend les exposants : $\ln(a^n) = n\ln a$.
• Dérivée : $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$, donc $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Composée : $\bigl(\ln u\bigr)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Limites : $\ln \to -\infty$ en $0^+$, $\to +\infty$ en $+\infty$ mais lentement. Croissances comparées : la puissance l'emporte toujours sur $\ln$.
• Méthode d'équation : domaine d'abord, puis $\ln A = \ln B \iff A = B$, puis vérification des solutions.
• Le piège fatal : $\ln(a+b) \neq \ln a + \ln b$. Aucune formule pour la somme.

Le logarithme n'est pas qu'un chapitre de Terminale : il structure les études de fonctions, les calculs d'intégrales via la forme $u'/u$, et il revient massivement en prépa avec les croissances comparées et les développements limités. Le maîtriser au lycée, c'est aborder la Sup en terrain connu.

Pour continuer, révise sa réciproque avec notre guide de la fonction exponentielle, entraîne-toi sur les calculs de limites, et situe le chapitre dans l'ensemble du programme de maths de Terminale spécialité.