Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.96
Médiane
8.6
Écart-type
4.02
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 381
sur 3 650 inscrits · 7.4% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en trois parties proposant le dénombrement des chemins de Dyck, c'est-à-dire des trajectoires sur un axe gradué par Z, de longueur donnée, partant et aboutissant à 0 tout en restant de signe constant. Ce dénombrement fait apparaître les nombres de Catalan (qu'on retrouve aussi dans le dénombrement des « bons parenthésages »), utilisés pour deux calculs de déterminant présentant une symétrie particulière (déterminants de Hankel). Partie I : étude du problème de dénombrement des chemins de…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Étude d'une marche aléatoire sur Z(Q1-Q19)Difficile
I.A — Espérance et variance de S_n (loi binomiale pour Y_n). I.B — Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine, fonction génératrice G_T, lien avec la maximalité (Q4) et l'indépendance mutuelle (Q5). Calcul de C_n et étude asymptotique via Stirling.
- Partie II — Partie II — Systèmes orthogonaux de polynômes(Q20-Q29)Très difficile
Étude de bases orthogonales de polynômes unitaires. Produit scalaire défini sur R_n[X], unicité d'un tel système orthogonal, calcul du déterminant de la matrice (X^{i-1} | X^{j-1})_{1≤i,j≤n}. Récurrences doubles.
- Partie III — Partie III — Application : produit scalaire et déterminants de Hankel(Q30-Q37)Très difficile
Application au produit scalaire (P,Q) ↦ ∫₀¹ P(4t)Q(4t) √(1-t)/√t dt. Étude de l'intégrale impropre, primitivation, calcul des déterminants de Hankel détaillés en fin de sujet.
Analyse globale du jury
« Sur les 3381 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 23,7%, pour un écart-type de 13,7%, ce qui permet de considérer le sujet comme de longueur raisonnable. Il a par ailleurs permis une bonne discrimination parmi les candidats. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur le soin apporté aux réponses et sur la solidité des connaissances, bien plus que sur le volume traité ou l'originalité des idées. La meilleure copie a obtenu 81,5% des points du barème total. Le sujet se caractérise par une grande diversité dans les parties du programme qu'il concerne : des probabilités, du dénombrement et des séries entières en partie I, de l'algèbre bilinéaire en parties II et III, et des intégrales généralisées en partie III. Les questions relat… »
Top pièges sanctionnés
Loi binomiale Y_n non reconnue (Q1)-2 pts
« La toute première question du sujet est un bon indicateur de la disparité des candidats sur ce plan. Un tiers des copies ne parvient pas à reconnaitre, même sans justification, une loi binomiale pour la variable aléatoire Y_n. À l'opposé, seulement un sixième des copies parvient à reconnaitre cette loi tout en citant les arguments attendus pour l'établir. »
Convergence normale vs absolue confondues (Q9)-2 pts
« La notion de convergence normale d'une série de fonctions sur l'intervalle I est globalement mal connue des candidats, souvent confondue avec la convergence absolue pour tout t ∈ I. On rappelle que la convergence normale d'une série entière a lieu sur tout segment de l'intervalle ouvert de convergence : ici, la série entière ayant un rayon de convergence de 1/4, la convergence normale est acquise sur tout segment de l'intervalle ]-1/4, 1/4[ et pas a priori sur le segment [-1/4, 1/4]. »
Équivalent de Stirling inversé (Q19)-2 pts
« De nombreux candidats ne connaissent pas l'équivalent de Stirling. On voit beaucoup une version inversant le quotient (n/e)^n en (e/n)^n faisant de n! une quantité tendant vers 0. »
Famille orthogonale → libre, mais sans vecteurs nuls (Q21)-1 pts
« Une famille orthogonale n'est pas nécessairement libre, il faut aussi qu'elle soit constituée de vecteurs tous non nuls. Ce point est négligé dans de nombreuses copies. »
Q_n présumée orthogonale (Q24-Q26)-2 pts
« Environ la moitié des candidats considèrent, à tort, et sans doute troublés par l'écriture Q_n^T G_n Q_n, que la matrice Q_n est orthogonale alors que rien ne le laisse entendre dans le sujet. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2021 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
