Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
7.97
Médiane
7.1
Écart-type
4.12
Q1 (25%)
4.7
Q3 (75%)
10.5
Candidats présents
3 582
sur 3 737 inscrits · 4.1% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet propose une étude des matrices symplectiques (réelles) associées à la matrice antisymétrique J_n = ((0_n, I_n), (-I_n, 0_n)) de taille 2n. Le problème définit la notion de matrice symplectique comme toute matrice M ∈ M_{2n}(R) vérifiant M^T J_n M = J_n. Partie I : cas de la dimension 2, caractérisation générale des matrices symplectiques de taille 2 par leur déterminant, caractérisation des matrices symplectiques orthogonales (Q3, Q4), symétriques (Q5) et antisymétriques (Q6). Partie I…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Dimension 2(Q1-Q6)Niveau attendu
Caractérisation des matrices symplectiques de taille 2 par leur déterminant. Caractérisation des matrices symplectiques orthogonales (Q3-Q4), symétriques (Q5), antisymétriques (Q6). Théorème spectral (Q5).
- Partie II — Partie II — Matrices symplectiques et orthogonales en taille quelconque(Q7-Q15)Difficile
Extension du résultat de la dimension 2 aux matrices de taille quelconque. Forme bilinéaire alternée, antisymétrique, application linéaire (Q7-Q14).
- Partie III — Partie III — Structure de groupe(Q16-Q18)Difficile
Étude succincte de la structure de groupe que possède l'ensemble des matrices symplectiques (sans le nommer).
- Partie IV — Partie IV — Matrices symétriques et symplectiques(Q19-Q28)Très difficile
Réduction des matrices symétriques et symplectiques de taille quelconque. Sous-espaces propres E_λ et E_{1/λ}, bijection, vecteur propre non nul. Application numérique (Q25-Q26).
- Partie V — Partie V — Matrices antisymétriques et symplectiques(Q29-Q36)Très difficile
Réduction des matrices antisymétriques et symplectiques. Application numérique (Q35-Q36) avec produit 8×8.
Analyse globale du jury
« Sur les 3517 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 21,8% pour un écart-type de 12,7%. Le sujet peut donc être considéré comme long, mais il a permis une bonne discrimination parmi les candidats. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur le soin apporté aux réponses, bien plus que sur le volume traité. La meilleure copie a obtenu 81% des points du barème total. Les parties I et II ont été abordées par la quasi-totalité des candidats (plus de 99% d'entre eux). Il en est presque de même pour les parties III et IV (entamées par plus de 90% des copies) et la partie V a été légèrement plus délaissée (76% des copies). La notion de matrice symplectique, certainement nouvelle pour la grande majorité des candidats, a été plutôt bien pris… »
Top pièges sanctionnés
Divisions sans vérifier la non-nullité (Q3, Q16, Q19)-2 pts
« Aux questions Q3, Q16, Q19, le candidat était souvent amené à simplifier par des quantités abstraites. Le jury regrette que la plupart d'entre eux aient procédé à ces simplifications sans même s'inquiéter de la non-nullité de la quantité simplifiée. Par exemple, à la question Q16, l'écriture det(M) det(J_n) det(M) = det(J_n) donnait, dans beaucoup de copies, det(M)² = 1 à l'étape suivante, sans la moindre discussion quant à la non-nullité de det(J_n). »
Manipulation laxiste des équivalences (Q2-Q3)-2 pts
« La manipulation des équivalences doit se faire avec le plus grand soin. Primo, l'écriture du symbole « ⇔ » ne se fait que si les implications ⇒ et ⇐ sont vérifiées : moins de la moitié des candidats s'en préoccupent avec soin. Secundo, lorsque des questions comme Q2 et Q3 demandent la démonstration d'une équivalence, il faut bien veiller à ce que la réponse s'en occupe. »
Contre-exemples insuffisamment précis (Q18)-1 pts
« En guise de contre-exemples, les candidats préfèrent laisser des réponses impliquant des paramètres qui, s'ils sont bien choisis, ne constituent plus un contre-exemple à l'affirmation étudiée. Cette remarque concerne principalement la Q18, dans laquelle, pour démontrer l'absence de structure d'espace vectoriel, certains candidats ont choisi a, b ∈ R, M, N symplectiques, et développé le produit (aM + bN)^T J_n (aM + bN), concluant très vite qu'il était différent de J_n, sans condition sur a, b. »
Vocabulaire « clairement », « trivialement », « évidemment »-1 pts
« Le jury recommande aux candidats de rédiger avec honnêteté et humilité et notamment de bannir de leur vocabulaire des mots comme « clairement », « trivialement », « évidemment ». Ceux-ci n'apportent rien au contenu mathématique de la copie et ne peuvent jouer qu'en défaveur du candidat, surtout lorsqu'ils sont suivis d'erreurs manifestes ou lorsqu'ils servent à passer rapidement sur des points essentiels. »
Théorème spectral mal énoncé (Q5)-2 pts
« Le théorème spectral n'est pas systématiquement cité avec tous ses aspects ; certains se contentent de dire qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable (alors que l'existence d'une base orthonormée de diagonalisation fait partie des attentes de la question). De manière plus regrettable, on en lit parfois des versions erronées : ce n'est pas parce qu'on peut trouver une base orthonormée permettant de diagonaliser une matrice symétrique que toute matrice de passage diagonalisante est une matrice orthogonale (confusion fréquente). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2020 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
