Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.90
Médiane
8.6
Écart-type
4.12
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 454
sur 3 695 inscrits · 6.5% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Introduction à l'analyse en composantes principales (ACP), domaine des statistiques où l'analyse spectrale d'une matrice de covariance permet la mise en évidence de facteurs principaux. Trois parties : (I) reprise de résultats classiques sur l'orthodiagonalisation des matrices symétriques réelles et étude du rayon spectral ρ(A), avec ρ(A) = max{|U^T A U| : ‖U‖=1} ; (II) introduction du concept de matrice de covariance associée à un vecteur aléatoire et étude de ses propriétés (formule de la mat…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Généralités sur les matrices symétriques réelles(Q1-Q15)Niveau attendu
Théorème spectral (orthodiagonalisable ⇔ symétrique). I.A — Exemple dans M_3(R), I.B — Exemple dans M_n(R) (produit scalaire ∫₀¹ P(t)Q(t)dt sur R_{n-1}[X]). Étude du rayon spectral ρ(A) avec norme ‖U^T AU‖.
- Partie II — Partie II — Matrice de covariance d'un vecteur aléatoire(Q16-Q28)Difficile
Définition E(MY), cov(X,X) = V(X) ≥ 0, espérance de produits, formule de la matrice de covariance d'une transformation linéaire (Q17), supplémentaire vs complémentaire (Q25).
- Partie III — Partie III — Extraction des facteurs principaux(Q29-Q38)Très difficile
III.A — Cadre général. III.B — Premier facteur principal. III.C — Modèle à corrélation uniparamétrée (matrice J avec étude spectrale). III.D — Cas général : valeurs propres deux à deux distinctes.
Analyse globale du jury
« Sur les 3454 copies corrigées, la moyenne constatée est de 26,2% du barème, pour un écart-type de 16,2%, ce qui permet de considérer le sujet comme de longueur raisonnable, et permettant un niveau de discrimination satisfaisant. La meilleure copie obtient 90,3% des points. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur deux points : la connaissance (parfois basique) du cours et la qualité du raisonnement. Les questions Q1 (théorème spectral) et Q5 (produit scalaire ∫₀¹ P(t)Q(t)dt) ne sont totalement réussies que par une part minoritaire (un tiers pour Q1, un quart pour Q5). Parmi les copies obtenant plus de la moitié des points, environ 85% de la note se répartit sur seulement 25 des 38 questions du sujet. »
Top pièges sanctionnés
Confusion transposée A^T et inverse A^{-1} (Q1)-1 pts
« Une question proche du cours pleinement réussie par une proportion relativement peu importante des candidats, en particulier pour l'implication consistant à montrer qu'une matrice symétrique réelle est orthodiagonalisable. Les confusions entre la transposée A^T et l'inverse A^{-1} d'une matrice A sont nombreuses. »
Diagonalisation non orthonormalisée (Q4)-1 pts
« Le jury note très peu de bonnes réponses à cette question, en particulier quant à l'orthonormalisation d'une base de vecteurs propres. De nombreuses copies se contentent de proposer une base de diagonalisation de la matrice A_1 sans se préoccuper de la rendre orthonormale (par exemple en utilisant le procédé de Gram-Schmidt). »
Matrice nilpotente — non-nullité de la valeur propre réelle (Q9)-2 pts
« Il est bon de préciser pour quelle raison une matrice nilpotente admet au moins une valeur propre réelle avant d'en établir la nécessaire nullité. De nombreux candidats pensent qu'une matrice nilpotente est diagonalisable, ce qui n'est pourtant vrai que pour la matrice nulle. »
Caractère borné implique fermé — faux (Q10)-1 pts
« Beaucoup de candidats pensent que le caractère borné d'une partie de R^n implique son caractère fermé, ce qui est faux. On rappelle également que U^T U et UU^T ne sont pas des matrices de taille identique. »
Spectre de A+B = sommes λ+μ — faux (Q15)-1 pts
« Il est faux de croire qu'étant donné deux matrices A, B ∈ M_n(R), le spectre de A+B est constitué des sommes λ + μ pour λ parcourant le spectre de A et μ parcourant le spectre de B. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2022 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
