Top piège du sujet
Confusion X > 0 (toutes composantes strictement positives) vs ∃i, X_i > 0 (Q1)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.27
Médiane
9.1
Écart-type
4.01
Q1 (25%)
6.4
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 501
sur 3 652 inscrits · 4.1% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.37 par rapport à 2022 (9.27 vs 8.9). Écart-type stable (σ=4.01).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Cette épreuve propose une démonstration du théorème de Perron-Frobenius pour certaines matrices symétriques réelles à coefficients positifs. Une application est proposée en fin de sujet à un théorème dû à Ky Fan. Quatre parties : (I) résultats préliminaires (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans C, inégalité de Cauchy-Schwarz) ; (II) réduction des matrices 2×2 à coefficients strictement positifs ; (III) rayon spectral d'une matrice complexe et résultat de convergence ; (IV) démonstrati…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Préliminaires(Q1-Q6)Niveau attendu
Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire dans C, inégalité de Cauchy-Schwarz, calculs élémentaires.
- Partie II — Partie II, Réduction des matrices 2×2 à coefficients strictement positifs(Q7-Q10)Niveau attendu
Étude détaillée du cas 2×2 (vecteurs propres, valeurs propres dominantes).
- Partie III — Partie III, Rayon spectral et convergence(Q11-Q20)Difficile
Définition du rayon spectral ρ(A), normes sous-multiplicatives ‖·‖∞ et ‖·‖₂, convergence de A^k vers 0 si ρ(A)<1.
- Partie IV — Partie IV, Démonstration du théorème de Perron-Frobenius(Q21-Q35)Très difficile
Théorème pour matrices symétriques réelles à coefficients strictement positifs, généralisation aux matrices dont une puissance est à coefficients positifs, application au théorème de Ky Fan.
Analyse globale du jury
« Sur les 3501 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 32,9%, pour un écart-type de 15,1%, ce qui permet de considérer le sujet comme de longueur raisonnable, et permettant un niveau de discrimination satisfaisant. La meilleure copie obtient 83,1% des points. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur deux points : la connaissance (parfois basique) du cours et la qualité du raisonnement. Concernant le premier point, la question Q21 (théorème spectral), traitée par la quasi-totalité, n'a été réussie que par moins d'un quart. Le jury rappelle que la gestion des implications et équivalences doit se faire avec la plus grande rigueur. »
Top pièges sanctionnés
Confusion X > 0 (toutes composantes strictement positives) vs ∃i, X_i > 0 (Q1)-1 pts
« Une question de calcul élémentaire, plutôt bien réussie. Les erreurs constatées ont porté majoritairement sur la confusion entre X > 0 (toutes les composantes de X sont strictement positives) et ∃i ∈ [1;n], X_i > 0. »
Inégalité de Cauchy-Schwarz mal connue avec valeurs absolues oubliées (Q2)-2 pts
« L'inégalité est mal connue dans de larges proportions (et la valeur absolue est par ailleurs souvent oubliée, dans la version |⟨X,Y⟩| ⩽ |X|·|Y|). Le jury rappelle que l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne s'applique pas à des vecteurs à composantes complexes. »
Inversions entre conclusions et hypothèses (Q3, Q4)-2 pts
« Le jury note de manière importante des inversions entre conclusions et hypothèses. Par exemple, dans les questions Q3 et Q4, beaucoup de candidats seront partis de la conclusion à démontrer, pour la démontrer. »
Toute matrice complexe diagonalisable, erreur récurrente (Q14)-2 pts
« Le jury note de manière récurrente l'erreur consistant à penser que toute matrice complexe est diagonalisable. »
Théorème spectral mal explicité (Q21)-2 pts
« Une question de cours, globalement bien réussie, aux points près suivants : primo, le théorème spectral s'applique à des matrices symétriques réelles, secundo, l'information attendue sur les sous-espaces propres est leur orthogonalité deux à deux. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2023 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths I Centrale-Supélec PC 2023 s'est déroulée fin avril 2023, en 4h, coefficient 15. Sujet commun aux filières PC et PSI, quelques questions optionnelles spécifiques.
Sujet sur Théorème de Perron-Frobenius. Cette épreuve propose une démonstration du théorème de Perron-Frobenius pour certaines matrices symétriques réelles à coefficients positifs. Une application est proposée en fin de sujet à un théorème dû à Ky Fan. Quatre parties : (I) résultats préliminaires (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans C, inégalité de Cauchy-Schwarz) ; (II) réduction des matrices 2×2 à coefficients strictement…
La moyenne brute s'est établie à 9.27/20, écart-type 4.01. Médiane 9.1, premier quartile 6.4, troisième quartile 12.0. 3501 candidats présents pour 3652 inscrits (4.1 % d'absents). L'écart Q1–Q3 est de 5.6 points, ce qui rend l'épreuve exigeant et discriminante.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sur les 3501 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 32,9%, pour un écart-type de 15,1%, ce qui permet de considérer le sujet comme de longueur raisonnable, et permettant un niveau de discrimination satisfaisant. La meilleure copie obtient 83,1% des points. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur deux points : la connaissance (parfois basique) du cours et la qualité du raisonnement. Concernant le premier point, la question Q21 (théor…
Si tu vises 9.1-12.0/20 (médiane à top 25 %)
Concentre-toi sur les premières parties du sujet (préliminaires, étude d'exemples, applications directes du cours). Ce sont les points faciles. Soigne particulièrement les vérifications d'hypothèses, c'est là que le jury Centrale PC sanctionne le plus les copies moyennes.
Si tu vises 12.0+/20 (top 10 %)
Il faut aborder les parties techniques de fin de sujet, même partiellement. Une question difficile bien rédigée vaut plusieurs questions classiques bâclées. Travaille la justification des hypothèses (domination, intégrabilité, indépendance) avec rigueur explicite.
Gestion des 4h : alloue 1h sur la partie I (questions de cours et applications), 1h-1h15 sur la partie II (calculs principaux), 1h-1h15 sur les parties suivantes, et garde 15-20 min de relecture. Privilégie la qualité sur la quantité, Centrale PC applique des malus systématiques sur les copies illisibles ou mal organisées.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Soigner la présentation et la rédaction : le jury Centrale PC applique systématiquement un malus sur les copies illisibles, raturées ou avec des abréviations inintelligibles.
- Vérifier explicitement les hypothèses des théorèmes : convergence dominée, théorème spectral, théorèmes d'intégrales à paramètres : citer le théorème ne dispense jamais de vérifier ses hypothèses.
- Contrôler l'homogénéité et les ordres de grandeur : c'est gratuit et permet de détecter la majorité des erreurs algébriques avant qu'elles ne se propagent.
- Lire le sujet en entier avant de commencer : comprendre le fil conducteur permet d'identifier où sont les points faciles et d'éviter de bloquer sur des questions techniques en milieu de sujet.
- Ne pas négliger les questions ouvertes ou de programmation : souvent >10 % du barème, peu traitées par les candidats, c'est un fort différenciateur pour viser le top 10 %.
Ressources
Téléchargements
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