Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.27
Médiane
9.1
Écart-type
4.01
Q1 (25%)
6.4
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 501
sur 3 652 inscrits · 4.1% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Cette épreuve propose une démonstration du théorème de Perron-Frobenius pour certaines matrices symétriques réelles à coefficients positifs. Une application est proposée en fin de sujet à un théorème dû à Ky Fan. Quatre parties : (I) résultats préliminaires (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans C, inégalité de Cauchy-Schwarz) ; (II) réduction des matrices 2×2 à coefficients strictement positifs ; (III) rayon spectral d'une matrice complexe et résultat de convergence ; (IV) démonstrati…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Préliminaires(Q1-Q6)Niveau attendu
Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire dans C, inégalité de Cauchy-Schwarz, calculs élémentaires.
- Partie II — Partie II — Réduction des matrices 2×2 à coefficients strictement positifs(Q7-Q10)Niveau attendu
Étude détaillée du cas 2×2 (vecteurs propres, valeurs propres dominantes).
- Partie III — Partie III — Rayon spectral et convergence(Q11-Q20)Difficile
Définition du rayon spectral ρ(A), normes sous-multiplicatives ‖·‖∞ et ‖·‖₂, convergence de A^k vers 0 si ρ(A)<1.
- Partie IV — Partie IV — Démonstration du théorème de Perron-Frobenius(Q21-Q35)Très difficile
Théorème pour matrices symétriques réelles à coefficients strictement positifs, généralisation aux matrices dont une puissance est à coefficients positifs, application au théorème de Ky Fan.
Analyse globale du jury
« Sur les 3501 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 32,9%, pour un écart-type de 15,1%, ce qui permet de considérer le sujet comme de longueur raisonnable, et permettant un niveau de discrimination satisfaisant. La meilleure copie obtient 83,1% des points. La sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur deux points : la connaissance (parfois basique) du cours et la qualité du raisonnement. Concernant le premier point, la question Q21 (théorème spectral), traitée par la quasi-totalité, n'a été réussie que par moins d'un quart. Le jury rappelle que la gestion des implications et équivalences doit se faire avec la plus grande rigueur. »
Top pièges sanctionnés
Confusion X > 0 (toutes composantes strictement positives) vs ∃i, X_i > 0 (Q1)-1 pts
« Une question de calcul élémentaire, plutôt bien réussie. Les erreurs constatées ont porté majoritairement sur la confusion entre X > 0 (toutes les composantes de X sont strictement positives) et ∃i ∈ [1;n], X_i > 0. »
Inégalité de Cauchy-Schwarz mal connue avec valeurs absolues oubliées (Q2)-2 pts
« L'inégalité est mal connue dans de larges proportions (et la valeur absolue est par ailleurs souvent oubliée, dans la version |⟨X,Y⟩| ⩽ |X|·|Y|). Le jury rappelle que l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne s'applique pas à des vecteurs à composantes complexes. »
Inversions entre conclusions et hypothèses (Q3, Q4)-2 pts
« Le jury note de manière importante des inversions entre conclusions et hypothèses. Par exemple, dans les questions Q3 et Q4, beaucoup de candidats seront partis de la conclusion à démontrer, pour la démontrer. »
Toute matrice complexe diagonalisable — erreur récurrente (Q14)-2 pts
« Le jury note de manière récurrente l'erreur consistant à penser que toute matrice complexe est diagonalisable. »
Théorème spectral mal explicité (Q21)-2 pts
« Une question de cours, globalement bien réussie, aux points près suivants : primo, le théorème spectral s'applique à des matrices symétriques réelles, secundo, l'information attendue sur les sous-espaces propres est leur orthogonalité deux à deux. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2023 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
