Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.99
Médiane
8.4
Écart-type
4.13
Q1 (25%)
6.0
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 417
sur 3 695 inscrits · 7.5% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Approximation des fonctions continues par des polynômes. Le problème étudie la convergence uniforme vers f des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à une famille de plus en plus dense de points de I. Trois parties : (I) polynômes de Tchebychev réalisant le maximum de la norme uniforme sur [-1,1] parmi les polynômes unitaires de degré donné ; (II) majorations faisant intervenir les dérivées d'ordre supérieur, convergence uniforme de développements de fonctions C^∞ ; (III) phénomène de…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Étude de deux familles de polynômes(Q1-Q15)Difficile
I.A — Polynômes de Lagrange L_i(X) = Π (X-a_j)/(a_i-a_j), produit scalaire ⟨P,Q⟩ = Σ P(a_k)Q(a_k), base orthonormée. I.B — Polynômes de Tchebychev (relations trigonométriques, racines, théorème du min-max).
- Partie II — Partie II — Interpolation et convergence pour fonctions C^∞(Q16-Q29)Très difficile
Récurrence sur les rangées de points distincts, majorations, Σ s_n(x) < exp(x), critère de convergence par dérivation des séries entières dans le disque ouvert.
- Partie III — Partie III — Phénomène de Runge(Q30-Q37)Très difficile
Étude de l'intégrale impropre, primitive de t ↦ ln(α²+t²), J_α en 0+, comparaison d'intégrales d'une fonction monotone et d'une fonction en escalier, parité de R_n, unicité des polynômes d'interpolation.
Analyse globale du jury
« Les familles de points et les équations où elles interviennent requièrent un soin particulier de la part des candidats : indexation, récurrence (ou non), bornes. Cela n'a pas toujours été le cas. On note par contre une bonne familiarité avec l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, familles libres, produit scalaire). Comme l'année dernière, les principales faiblesses sont plutôt à rechercher dans le domaine de l'analyse. On a ainsi pu relever que les candidats peinent à justifier la convergence d'intégrale et se montrent souvent fort maladroits quant à l'utilisation des propriétés des séries entières. Même certaines questions élémentaires s'avèrent problématiques dans beaucoup de copies. Ici concrètement pour montrer que t ↦ 1/(1+t²) est C^∞, ou pour trouver une primitive de t ↦ ln(α²+t²).… »
Top pièges sanctionnés
Polynôme de degré n-1 admet n racines ⇒ il est nul (Q1)-1 pts
« Trop de candidats pensent que les éléments de R_{n-1}[X] sont de degré n-1 et en viennent à affirmer que si un polynôme de degré n-1 admet n racines, alors il est nul. »
Base de R_{n-1}[X] non nécessairement en degrés échelonnés (Q4)-1 pts
« Attention, de même que toute matrice inversible n'est pas triangulaire, une base de R_{n-1}[X] n'est pas nécessairement en degrés échelonnés. Rappelons que comme le dit le programme de PCSI, « toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre ». »
Confusion terme de plus haut degré et coefficient (Q8)-1 pts
« Trop de confusion entre terme de plus haut degré et coefficient du terme de plus haut degré. Rappelons qu'une somme de polynômes de degré n n'est pas forcément de degré n. »
Récurrence sur points dans le mauvais ordre (Q16)-1 pts
« L'idée de la récurrence est aperçue par la plupart des candidats mais une partie d'entre eux invoquent le théorème des valeurs intermédiaires. Ici encore il convenait de raisonner sur des points rangés en ordre croissant. »
Inégalité entre fonctions ⇒ inégalité entre dérivées — faux (Q25)-2 pts
« La difficulté de la question ne doit pas conduire à des arguments difficilement crédibles, comme de dire qu'une inégalité entre fonctions entraine la même inégalité entre leurs dérivées ! »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2022 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
