Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration du théorème de Komlós (1967) : pour Mn matrice n×n à coefficients ±1 indépendants, P(Mn inversible) → 1 quand n → ∞. Sujet articulé autour d'une majoration sur les sous-espaces de Rⁿ contenant 2^d vecteurs ±1 (Q12), du lemme de Sperner et de l'inégalité d'anti-concentration de Littlewood-Offord (Q14-Q20). Aborde probabilités, combinatoire, analyse asymptotique, algèbre linéaire, espaces euclidiens.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q4 — Inégalités élémentaires et asymptotique(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 calculs avec un grand flou sur l'intervalle, oubli de la symétrie. Q2 dissocier n pair / n impair. Q3 inégalités élémentaires (pas récurrence). Q4 sous-espace engendré mal compris.
- Partie II — Q5-Q9 — Familiarisation avec Mn (n=2)(Q5-Q9)Difficile
Q5 propriétés de l'espérance (pas combinatoire). Q6 variance donnée → tentatives d'escroquerie. Q7 probabilités > 1 sans recul. Q8 indépendance, incompatibilité, monotonie, sous-additivité. Q9 nullité du déterminant ↔ caractère lié.
- Partie III — Q10-Q13 — Démonstration via algèbre linéaire (Q12 majoration 2^d)(Q10-Q13)Très difficile
Q10 difficultés de logique (quantificateur existentiel et équivalence). Q11 lien avec Q10 rarement perçu. Q12-Q13 questions difficiles à résoudre en temps limité.
- Partie IV — Q14-Q21 — Sperner, Littlewood-Offord et anti-concentration(Q14-Q21)Très difficile
Q14 partie E ⊂ F finis avec |E| = |F| ⇒ E = F. Q15 dénombrement ouvert. Q16 « incomparables » confondu avec « disjoints ». Q17 combinatoire difficile. Q18-Q19 simples, points faciles. Q21 logique et syntaxe ensembliste.
Analyse globale du jury
« Le sujet abordait un grand nombre de notions du programme : probabilités, combinatoire, analyse asymptotique, algèbre linéaire et espaces euclidiens. Cette diversité thématique semble avoir déconcerté une bonne partie des candidats. Peu de questions étaient réellement délicates et peu vraiment simples ; beaucoup demandaient un certain soin dans la rédaction. Le sujet s'est révélé un peu difficile et a le défaut de s'appuyer exclusivement sur le programme de première année. L'épreuve a permis de mettre en évidence un nombre significatif de très bonnes copies. À l'inverse, contingent assez fort de copies presque vides. »
Top pièges sanctionnés
Q2 — n pair/impair non dissocié, ⌊n/2⌋ remplacé par n/2-2 pts
« Beaucoup de candidats maîtrisent mal la notion d'équivalent, d'où des calculs abusifs dans la première partie de la question (on remplace sans vergogne ⌊n/2⌋ par n/2). »
Q5 — combinatoire au lieu d'espérance-1 pts
« Peu de candidats ont noté que Q5 se faisait immédiatement avec les propriétés de l'espérance. »
Q7 — probabilités > 1-1 pts
« Dans Q7, certaines copies trouvent des probabilités strictement supérieures à 1 : on conseille aux candidats de prendre un peu de recul ! »
Q8 — calcul de P(L1=L2) et P(L1=-L2) sans répondre à la question-1 pts
« Par ailleurs, beaucoup de candidats calculent P(L1 = L2) et P(L1 = −L2) sans répondre vraiment à la question. »
Q10 — confusion logique (quantificateur précède équivalence)-2 pts
« Cette question a donné lieu à beaucoup de réponses dénuées de sens ; ce sont ici des difficultés de logique qui sont en cause (le quantificateur existentiel précède l'équivalence). »
Q16 — « incomparables » confondu avec « disjoints »-1 pts
« Question souvent abordée, traitée dans un certain nombre de copies ; la rédaction n'est pas toujours claire et beaucoup de candidats semble confondre « incomparables » et « disjoints ». »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2018 · PDF officiel ↗
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