Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur les chaînes de Markov homogènes à ensemble d'états fini. Quatre parties : (I) probabiliste centrée sur un exemple (rat dans un labyrinthe) avec apparition d'une matrice stochastique ; (II) résultat classique sur les suites de matrices — convergence au sens de Cesàro de la suite des puissances d'une matrice de Mn(R) à norme d'opérateur ≤ 1 ; (III) matrices stochastiques, sous-espace propre associé à 1 dans le cas irréductible, distribution invariante ;…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Rat dans un labyrinthe (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 combinaisons linéaires de suites, probabilités conditionnelles. Q2 confusion B et sa transposée. Q3 « matrice symétrique donc 1 valeur propre » (faux). Q4 BX0 = X0 — diagonalisation maladroite, X_k = B^k X0 « donc loi géométrique » grotesque.…
- Partie II — Partie II — Convergence Cesàro des puissances de A (Q6-Q10)(Q6-Q10)Difficile
Q6 erreurs de typage (u(x)k pour uk(x)) ; somme de suite géométrique de vecteurs. Q7 binôme parfois sollicité ; télescopage avec borne de ‖uk(x)‖ (1-lipschitzienne). Q8 théorème du rang + Q6, Q7. Q9 projecteur — préciser les deux espaces, pas orthogonal sans euclidien.…
- Partie III — Partie III — Matrices stochastiques (Q11-Q18)(Q11-Q18)Difficile
Q11 cas n=2 ou n=3 ne suffit pas pour l'équivalence. Q12-Q13 oubli de la condition de positivité, AU = U pour la stabilité (faux). Q14 inégalité triangulaire escamotée, positivité des coefficients. Q15 stochastique de A^p via Q11, stricte positivité. Q16 inclusion noyau A - In dans noyau A - In.…
- Partie IV — Partie IV — Réexamen du rat (Q19-Q24)(Q19-Q24)Très difficile
Q19 matrices de rang 1 comme produit colonne-ligne — U imposée (image de P) ; fautes de logique. Q20 unicité rarement traitée. Q21 LA^p = L → résultat via stricte positivité. Q22 confusion multiplicité/dimension du sous-espace propre. Q23-Q24 calcul de la loi invariante fait en partie I.
Analyse globale du jury
« Le sujet, dont l'objet est très classique, abordait des thématiques variées et centrales du programme. Il était de longueur raisonnable et a été presque entièrement traité dans les meilleures copies. Excellent étalonnage des notes. Le nombre de copies faibles demeure important. Certaines questions très simples (Q1, Q2, Q5, Q6, Q11, Q12) n'ont pas été traitées correctement. Les nombreuses erreurs en probabilités dénotent un manque de sérieux. Beaucoup de candidats n'arrivent pas à se représenter les objets qu'ils manipulent — erreurs de typage (suites vectorielles devenant numériques). »
Top pièges sanctionnés
Q3 — matrice symétrique donc 1 est valeur propre (faux)-2 pts
« Beaucoup d'affirmations fausses (par exemple la matrice est symétrique donc 1 est valeur propre). »
Q5 — S1 = S0 donc S0 et S1 indépendantes-2 pts
« Question immédiate en termes de probabilités conditionnelles, qui a appelé pas mal de réponses insuffisantes (S1 dépend de S0, cf supra) ou absurdes (S1 = S0 donc S0 et S1 sont indépendantes). »
Q6 — erreurs de typage : u(x)^k pour u_k(x)-2 pts
« Début des erreurs de typage, beaucoup de candidats écrivant u(x)^k pour u_k(x) et sommant une suite géométrique de vecteurs ! »
Q9 — projecteur orthogonal sans euclidien-1 pts
« Cependant, le projecteur n'est pas toujours correctement précisé (les deux espaces doivent être indiqués), et est parfois décrété orthogonal alors que l'énoncé ne mentionne pas de structure euclidienne. »
Q11 — traiter n=2 ou n=3 au lieu de cas général-1 pts
« Question très simple, correctement comprise dans la plupart des copies, même si l'équivalence n'est pas toujours dégagée. Traiter le cas n = 2 ou n = 3 n'est pas suffisant ! »
Q22 — confusion multiplicité et dimension du sous-espace propre-1 pts
« Question délicate, très rarement résolue. Confusion fréquente entre la multiplicité et la dimension du sous-espace propre. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2017 · PDF officiel ↗
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