Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Quatre parties. Partie I : la série entière définissant Sr,p a un rayon de convergence +∞ ; calcul de S0,1 et S0,2 par fonctions usuelles. Partie II : démonstration du théorème pour p = 1 via une variable de Poisson de paramètre x ; concentration de Xx autour de x via Bienaymé-Tchebychev et argument de convexité ingénieux. Partie III : extraction de Sr,1 sur les multiples de p, transformation d'Abel, estimations asymptotiques.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Rayon de convergence et calculs (Q1-Q3)(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 d'Alembert applicable, simplifications de quotients de factorielles. Q2 développements de exp et cosh, séries sans terme d'indice 0. Q3 théorème de transfert avec absolue convergence souvent oubliée.
- Partie II — Partie II — Variable de Poisson et concentration (Q4-Q11)(Q4-Q11)Difficile
Q4 Bienaymé-Tchebychev mal énoncée. Q5 Markov : choix de Zxr, égalité d'événements, positivité — bluff fréquent. Q6 décrètent l'indépendance des Xx-i, linéarité fantaisiste de l'espérance. Q7-Q8 décomposer un polynôme sur une base.…
- Partie III — Partie III — Transformation d'Abel et calculs asymptotiques (Q12-Q17)(Q12-Q17)Très difficile
Q12 erreurs ⌊x⌋ équivalent à ⌊x⌋+k donc ⌊x⌋! équivalent à (⌊x⌋+k)!. Q13 décroissance de la suite contredit Q10. Q14 peu de copies. Q15 petite moitié réussie. Q16-Q17 calculs subtils dans les excellentes copies.
- Partie IV — Partie IV — Application aux séries entières (Q18-Q20)(Q18-Q20)Très difficile
Q18 relation de récurrence, expression de cn, dérivation d'une série entière sur l'intervalle ouvert de convergence. Q19 formule de Stirling. Q20 application de la logique du texte.
Analyse globale du jury
« Le sujet, d'un intérêt mathématique soutenu, nécessite une bonne maîtrise des séries, séries entières, calcul asymptotique, probabilités. L'énoncé bien calibré comprend des questions de niveau très varié. Les meilleurs candidats ont compris l'ensemble du problème. Une partie significative a produit une copie de bon niveau. L'étalonnage des notes est satisfaisant. Les correcteurs déplorent cependant un contingent assez fort de copies presque vides et une quantité surprenante de copies superficielles. »
Top pièges sanctionnés
Q3 — théorème de transfert sans absolue convergence-1 pts
« Question proche du cours, rarement bien traitée. Une moitié des candidats donnent une réponse correcte, mais la plupart oublient de vérifier l'absolue convergence, nécessaire pour appliquer le théorème de transfert. »
Q5 — Markov sans variable, événement, positivité-2 pts
« Pour la première partie de la question, beaucoup de candidats évoquent l'inégalité de Markov, mais peu l'appliquent bien. Il faut d'une part choisir la bonne variable aléatoire (Zxr), d'autre part vérifier l'égalité d'événements, enfin mentionner la positivité de Zxr et celle de 1-x-1/3. L'oubli de ces précisions obérait fortement la note attribuée. »
Q6 — Xx-i supposées indépendantes-2 pts
« Beaucoup des candidats décrètent les variables aléatoires Xx − i indépendantes, ou utilisent une version fantaisiste de la linéarité de l'espérance. Certains affirment qu'une constante est d'espérance nulle. »
Q10 — dérivée d'un produit = produit des dérivées-2 pts
« Dans certaines copies, la dérivée d'un produit est le produit des dérivées. (...) pas mal de copies contiennent d'ailleurs des inégalités fausses (r > 0 donc 1 − r > 1 ...). »
Q12 — équivalent ⌊x⌋ ~ ⌊x⌋+k passé aux factorielles-2 pts
« Beaucoup d'erreurs dans les calculs asymptotiques, du type : « ⌊x⌋ est équivalent à ⌊x⌋+k, donc ⌊x⌋! est équivalent à (⌊x⌋+k)! ». »
Q13 — décroissance contredisant Q10-1 pts
« Pour la première partie, beaucoup de candidats donnent des réponses fausses, en invoquant la décroissance de la suite, qui contredit pourtant le résultat de Q10 ! »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2019 · PDF officiel ↗
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