Top piège du sujet
Q1, Q4, théorème puissant pour permutation somme/intégrale finie
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur les propriétés classiques des fonctions harmoniques définies sur un ouvert de R² à valeurs réelles ou complexes. Cinq parties. Partie I : noyau de Dirichlet et lemme de Riemann-Lebesgue (calculs avec exponentielles complexes, sommes géométriques, intégrales à paramètre tendant vers l'infini). Partie II : laplacien en coordonnées polaires et propriété de la moyenne. Partie III : problème de Dirichlet sur un carré. Partie IV : théorème de Liouville via série trigonométrique…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Noyau de Dirichlet et Riemann-Lebesgue (Q1-Q7)(Q1-Q7)Difficile
Q1, Q4 permutation intégrale-somme finie via simple linéarité (pas théorème puissant). Q2 sommes géométriques à savoir calculer rapidement. Q3 IPP avec inégalité triangulaire ou convergence dominée. Q4 changement de variable u = t-x, bornes oubliées (utiliser la 2π-périodicité)…
- Partie II — Partie II, Laplacien polaire et moyenne (Q8-Q10)(Q8-Q10)Difficile
Q8 dérivées partielles d'ordre 2 et harmonicité de f utilisée. Q9 dérivation sous le signe intégral, domination oubliée ; r J''(r) + J'(r) = 0 en r=0 via régularité C². Q10 EDO ry'' + y' = 0 (pas équation caractéristique car coefficients non constants).
- Partie III — Partie III, Problème de Dirichlet sur un carré (Q11-Q13)(Q11-Q13)Très difficile
Q11 fonction continue, positive, intégrale nulle ⇒ identiquement nulle (rare). Q12 dessin d'un cercle centré au max, rare. Q13 analyse rigoureuse, formules parachutées fausses.
- Partie IV — Partie IV, Théorème de Liouville (Q14-Q18)(Q14-Q18)Très difficile
Q14 deux premières dérivées de vn et égalité. Q15 changer de fonction inconnue (pas équation caractéristique). Q16-Q18 rarement traitées. Q17 conséquence de Q7.
- Partie V — Partie V, Théorème de d'Alembert-Gauss (Q19-Q20)(Q19-Q20)Très difficile
Application du théorème de Liouville. Q19-Q20 abordées par certains.
Analyse globale du jury
« Sujet de facture certes classique, tout à fait dans l'esprit du programme PC, conçu pour aborder un très grand nombre de chapitres du programme d'analyse. Trop de candidats reviennent systématiquement aux fonctions sin/cos au lieu d'utiliser les exponentielles complexes. Beaucoup ont perdu beaucoup de temps à vérifier les hypothèses de théorèmes d'intégration terme à terme parfaitement inutiles. Le manque d'honnêteté intellectuelle est inévitablement et impitoyablement sanctionné. »
Top pièges sanctionnés
Q1, Q4, théorème puissant pour permutation somme/intégrale finie-1 pts
« De nombreux candidats ont perdu beaucoup de temps, faute de lucidité, à vérifier les hypothèses de théorèmes d'intégration terme à terme ici parfaitement inutiles. Pas besoin de théorème puissant pour intégrer terme à terme une somme finie ! »
Q4, changement de variable u = t-x sans changer les bornes-1 pts
« Dans la question 4, la plupart des candidats a songé au changement de variable u = t − x, mais en oubliant trop souvent de changer les bornes. »
Q9, domination oubliée dans dérivation sous l'intégrale-2 pts
« Pour l'obtenir, il fallait calculer les deux premières dérivées de la fonction J en appliquant le théorème de dérivation sous le signe intégral. Dans ce théorème, l'hypothèse capitale est celle de domination, trop souvent purement et simplement oubliée. »
Q9, fonction périodique a une moyenne nulle (faux)-2 pts
« Une fois l'égalité (1) obtenue, il fallait montrer la nullité du membre de droite, ce que de nombreux candidats (pourtant physiciens) ont pensé faire en déclarant que « toute fonction périodique a une moyenne nulle ». »
Q10, Q15, équation caractéristique pour EDO à coefficients non constants-2 pts
« Les correcteurs ont été très surpris de voir de nombreux candidats utiliser une équation caractéristique, alors que l'équation différentielle ici considérée n'est pas à coefficients constants. La méthode de l'équation caractéristique ne fonctionne que lorsque les coefficients sont constants ! »
Retour systématique aux sin/cos au lieu de l'exponentielle complexe-1 pts
« Trop de candidats semblent peu familiers avec le maniement des exponentielles complexes, et reviennent systématiquement aux fonctions sinus et cosinus, moins agréables à bien des égards ! »
Passages en force et escroqueries-2 pts
« Les correcteurs ont ici déploré de trop nombreux « passages en force », le manque d'honnêteté intellectuelle étant inévitablement et impitoyablement sanctionné. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Contexte
L'épreuve Maths II 2018
L'épreuve Maths II Mines-Ponts PC 2018 s'est déroulée fin avril 2018, durée 3h, coefficient 3. Concours commun Mines-Ponts qui ouvre 10 écoles d'ingénieur (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Sujet : Fonctions harmoniques sur un ouvert de R² et théorèmes de Liouville/d'Alembert-Gauss. Sujet sur les propriétés classiques des fonctions harmoniques définies sur un ouvert de R² à valeurs réelles ou complexes. Cinq parties. Partie I : noyau de Dirichlet et lemme de Riemann-Lebesgue (calculs avec exponentielles complexes, sommes géométriques, intégrales à paramètre tendant vers l'infini). Partie II : laplacien en coordonnées polaires et propriété de la moyenne…
Notre analyse ci-dessous est tirée des commentaires détaillés du jury Mines-Ponts sur les copies 2018.
Accompagnement personnalisé
Travaillez ce sujet avec un prof de l'équipe
Nos professeurs anciens taupins (Polytechnique, ENS, Centrale) reprennent ce sujet avec toi en cours particulier — corrigé ligne par ligne, méthode, pièges évités.
Trouvez le prof qu'il vous faut
Échangez avec notre équipe pour trouver le professeur idéal selon vos besoins.
Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet de facture certes classique, tout à fait dans l'esprit du programme PC, conçu pour aborder un très grand nombre de chapitres du programme d'analyse. Trop de candidats reviennent systématiquement aux fonctions sin/cos au lieu d'utiliser les exponentielles complexes…
Si tu vises 9-12/20
Sécuriser les questions de cours et premières applications directes. Mines-Ponts sanctionne lourdement les théorèmes appliqués sans vérification d'hypothèses : prends 30 secondes par théorème pour rappeler les hypothèses avant application.
Si tu vises 14+/20
Aller jusqu'aux dernières parties avec rédaction propre et calculs vérifiés. La présentation est notée, Mines-Ponts inclut un malus barème explicite depuis plusieurs sessions pour les copies négligées.
Gestion des 3h : prioriser les Q1-Q5 (questions de cours et applications directes), puis avancer au plus loin du sujet. Mieux vaut 12 questions traitées proprement que 22 traitées à moitié avec ratures et calculs faux.
Conseils du jury
Top pièges à éviter
- Q1, Q4, théorème puissant pour permutation somme/intégrale finie
- Q4, changement de variable u = t-x sans changer les bornes
- Q9, domination oubliée dans dérivation sous l'intégrale
- Q9, fonction périodique a une moyenne nulle (faux)
- Q10, Q15, équation caractéristique pour EDO à coefficients non constants
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ