Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet sur les propriétés classiques des fonctions harmoniques définies sur un ouvert de R² à valeurs réelles ou complexes. Cinq parties. Partie I : noyau de Dirichlet et lemme de Riemann-Lebesgue (calculs avec exponentielles complexes, sommes géométriques, intégrales à paramètre tendant vers l'infini). Partie II : laplacien en coordonnées polaires et propriété de la moyenne. Partie III : problème de Dirichlet sur un carré. Partie IV : théorème de Liouville via série trigonométrique.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Noyau de Dirichlet et Riemann-Lebesgue (Q1-Q7)(Q1-Q7)Difficile
Q1, Q4 permutation intégrale-somme finie via simple linéarité (pas théorème puissant). Q2 sommes géométriques à savoir calculer rapidement. Q3 IPP avec inégalité triangulaire ou convergence dominée. Q4 changement de variable u = t-x — bornes oubliées (utiliser la 2π-périodicité).…
- Partie II — Partie II — Laplacien polaire et moyenne (Q8-Q10)(Q8-Q10)Difficile
Q8 dérivées partielles d'ordre 2 et harmonicité de f utilisée. Q9 dérivation sous le signe intégral — domination oubliée ; r J''(r) + J'(r) = 0 en r=0 via régularité C². Q10 EDO ry'' + y' = 0 (pas équation caractéristique car coefficients non constants).
- Partie III — Partie III — Problème de Dirichlet sur un carré (Q11-Q13)(Q11-Q13)Très difficile
Q11 fonction continue, positive, intégrale nulle ⇒ identiquement nulle (rare). Q12 dessin d'un cercle centré au max — rare. Q13 analyse rigoureuse, formules parachutées fausses.
- Partie IV — Partie IV — Théorème de Liouville (Q14-Q18)(Q14-Q18)Très difficile
Q14 deux premières dérivées de vn et égalité. Q15 changer de fonction inconnue (pas équation caractéristique). Q16-Q18 rarement traitées. Q17 conséquence de Q7.
- Partie V — Partie V — Théorème de d'Alembert-Gauss (Q19-Q20)(Q19-Q20)Très difficile
Application du théorème de Liouville. Q19-Q20 abordées par certains.
Analyse globale du jury
« Sujet de facture certes classique, tout à fait dans l'esprit du programme PC, conçu pour aborder un très grand nombre de chapitres du programme d'analyse. Trop de candidats reviennent systématiquement aux fonctions sin/cos au lieu d'utiliser les exponentielles complexes. Beaucoup ont perdu beaucoup de temps à vérifier les hypothèses de théorèmes d'intégration terme à terme parfaitement inutiles. Le manque d'honnêteté intellectuelle est inévitablement et impitoyablement sanctionné. »
Top pièges sanctionnés
Q1, Q4 — théorème puissant pour permutation somme/intégrale finie-1 pts
« De nombreux candidats ont perdu beaucoup de temps, faute de lucidité, à vérifier les hypothèses de théorèmes d'intégration terme à terme ici parfaitement inutiles. Pas besoin de théorème puissant pour intégrer terme à terme une somme finie ! »
Q4 — changement de variable u = t-x sans changer les bornes-1 pts
« Dans la question 4, la plupart des candidats a songé au changement de variable u = t − x, mais en oubliant trop souvent de changer les bornes. »
Q9 — domination oubliée dans dérivation sous l'intégrale-2 pts
« Pour l'obtenir, il fallait calculer les deux premières dérivées de la fonction J en appliquant le théorème de dérivation sous le signe intégral. Dans ce théorème, l'hypothèse capitale est celle de domination, trop souvent purement et simplement oubliée. »
Q9 — fonction périodique a une moyenne nulle (faux)-2 pts
« Une fois l'égalité (1) obtenue, il fallait montrer la nullité du membre de droite, ce que de nombreux candidats (pourtant physiciens) ont pensé faire en déclarant que « toute fonction périodique a une moyenne nulle ». »
Q10, Q15 — équation caractéristique pour EDO à coefficients non constants-2 pts
« Les correcteurs ont été très surpris de voir de nombreux candidats utiliser une équation caractéristique, alors que l'équation différentielle ici considérée n'est pas à coefficients constants. La méthode de l'équation caractéristique ne fonctionne que lorsque les coefficients sont constants ! »
Retour systématique aux sin/cos au lieu de l'exponentielle complexe-1 pts
« Trop de candidats semblent peu familiers avec le maniement des exponentielles complexes, et reviennent systématiquement aux fonctions sinus et cosinus, moins agréables à bien des égards ! »
Passages en force et escroqueries-2 pts
« Les correcteurs ont ici déploré de trop nombreux « passages en force », le manque d'honnêteté intellectuelle étant inévitablement et impitoyablement sanctionné. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2018 · PDF officiel ↗
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