Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration dans C du résultat de Djokovic (1967) : une matrice est semblable à son inverse si et seulement si elle se factorise en produit de deux involutions. Le problème s'articule en 5 parties. Partie I : polynôme réciproque/antiréciproque dans C[X], propriétés des racines. Partie II : caractérisation des matrices diagonalisables semblables à leur inverse. Partie III : produits de symétries. Partie IV : étude des blocs de Jordan.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Polynômes réciproques et antiréciproques (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 facile en général. Q2 démontrer que les λi sont non nuls — argument sur le degré ou via Q1 avec a0=ap. Q4 racines 1 et -1 à part dans les regroupements par paires. Q5 peu traitée.
- Partie II — Partie II — Matrices diagonalisables semblables à leur inverse (Q6-Q10)(Q6-Q10)Difficile
Q6 différence entre (-x)^n et -x^n. Q7 mettre en évidence χA = χA−1. Q9 B non diagonale, argument à donner. Q10 confusions matrices de symétrie / matrices symétriques ; deux matrices ne commutent pas forcément ; même déterminant n'implique pas semblables.
- Partie III — Partie III — Produits de symétries (Q11-Q14)(Q11-Q14)Difficile
Q11 simple mais ouverte, mal traitée. Q12 bien faite. Q13 peu traitée. Q14 question classique discriminante.
- Partie IV — Partie IV — Blocs de Jordan (Q15-Q18)(Q15-Q18)Très difficile
Q15 triangulaire supérieure ne suffit pas pour l'inversibilité. Q16 très peu abordée. Q17 assez bien traitée. Q18 justification soignée.
- Partie V — Partie V — Conclusion via décomposition de Jordan (Q19-Q21)(Q19-Q21)Très difficile
Q19 peu ou mal traitée. Q20 bien traitée par ceux arrivés jusqu'ici. Q21 synthèse peu abordée sauf dans les meilleures copies.
Analyse globale du jury
« L'énoncé, très progressif, a permis aux candidats d'avancer assez significativement dans le sujet. Les meilleurs candidats ont bien compris l'articulation du problème et ont abordé la totalité des questions, sans toutefois traiter correctement l'ensemble. Malheureusement, certaines copies ont mis en évidence de grosses lacunes en algèbre linéaire. On a observé un bon étalonnement des notes et l'épreuve a parfaitement joué son rôle pour classer les candidats. »
Top pièges sanctionnés
Q6 — confusion (-x)^n et -x^n-1 pts
« En général, cette question a été bien résolue, mais certaines copies témoignent d'une méconnaissance du cours sur le déterminant. Une proportion non négligeable de candidats ne font pas la différence entre (-x)^n et -x^n. »
Q7 — χA−1 remplacé par χA sans justification-1 pts
« Il fallait mettre en évidence l'argument « A et A^{-1} sont semblables, donc elles ont le même polynôme caractéristique ». Certains candidats se permettent de remplacer χA^{-1} par χA sans justification, ce qui a été sanctionné. »
Q10 — matrices de symétrie vs matrices symétriques-2 pts
« Question généralement bien traitée, mais quelques erreurs graves comme : confusion entre matrices de symétrie et matrices symétriques, deux matrices ne commutent pas forcément, deux matrices qui ont même déterminant ne sont pas forcément semblables. »
Q15 — triangulaire supérieure ne suffit pas pour l'inversibilité-1 pts
« Il ne suffisait pas de dire que la matrice était triangulaire supérieure pour justifier son inversibilité. »
Q4 — racines 1 et -1 traitées dans le cas général sans précaution-1 pts
« Beaucoup de candidats ont vu l'idée, mais peu ont bien résolu la question. Certains candidats ont pensé que les seules racines possibles étaient 1 et -1 et d'autres n'ont pas pensé qu'il fallait les traiter à part dans les regroupements par paires. »
Citer précisément les numéros des questions utilisées-1 pts
« Nous rappelons également qu'il est important de citer précisément les numéros des questions utilisées lorsque le candidat utilise un résultat montré précédemment. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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