Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration que pour une fonction strictement positive continue à croissance lente avec ∫f(x)e^{-x²/2}/√(2π)=1, on a ∫ln(f(x))f(x)e^{-x²/2}dx ≤ (1/2)∫(f'²(x)-x²)/f(x) e^{-x²/2}dx. Cette inégalité de Sobolev logarithmique (Gross 1975) est de la forme Ent_μ(f²) ≤ c E_μ Q(f) où μ est la mesure canonique de Gauss. Première partie : fonctions à croissance lente, appartenance à L¹(μ) et structure d'espace vectoriel. Deuxième partie : fonction intermédiaire dépendant d'un paramètre t.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Fonctions à croissance lente (Q1-Q3)(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 très discriminante d'emblée — manipulation des inégalités, beaucoup écrivent à tort que k<d ⇒ x^k<x^d. Q2 produit fφ interprété à tort comme f∘φ, intégrabilité au voisinage de -∞ omise. Q3 erreurs de majoration de fonctions « puissances », Q1 rarement utilisée.
- Partie II — Partie 2 — Fonction intermédiaire Pt(f) (Q4-Q11)(Q4-Q11)Difficile
Q4 intégrabilité de fφ insuffisante pour Pt(f). Q5 erreurs de majoration pour la domination, hypothèse locale [a,b] sans sens (limite en +∞). Q6 valeur absolue n'est pas croissante. Q7 oubli de l'existence de l'intégrale (Q3).…
- Partie III — Partie 3 — Entropie et majoration finale (Q12-Q20)(Q12-Q20)Très difficile
Q12 lien avec Q11 mal compris. Q14 rarement bien traitée. Q15 continuité de S sur R+ (Q14) ne permet pas d'invertir intégrale et limite. Q18 rarement abordée. Q19 confusion Pt(f')(x) et Pt(f)'(x) avec calculs truqués. Q20 quelques réponses correctes.
Analyse globale du jury
« Le sujet demandait une bonne maîtrise des inégalités élémentaires et de l'intégration (intégrales généralisées, intégrales à paramètres, théorème de convergence dominée). Le sujet était tout à fait abordable et d'une longueur en rapport avec la durée de l'épreuve. Les candidats ont eu le temps de traiter l'ensemble des questions. La plupart demandaient une bonne connaissance du cours et de la rigueur dans les calculs et les inégalités. L'étalonnement des copies est satisfaisant. Certains étudiants ont traité correctement une grande part du sujet, mais un grand nombre de copies mettent en évidence de grosses lacunes dans la manipulation des inégalités et des théorèmes du cours, ainsi qu'un manque de rigueur. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — k<d ⇒ x^k<x^d-2 pts
« Beaucoup ont écrit à tort que si k < d alors x^k < x^d. Certains candidats trouvent un couple (C, k) ∈ R*+ × N sur [-1, 1] et un autre couple (C', k') sur R [-1, 1], ce qui traduit une incompréhension de la définition d'une fonction à croissance lente. »
Q2 — fφ comme composée f∘φ-1 pts
« Le produit fφ est interprété à tort par certains candidats comme une composée f∘φ. Il faut aussi veiller à travailler sur |fφ| (avec la valeur absolue) pour montrer l'intégrabilité de fφ par majoration. Enfin, il ne suffit pas de s'intéresser à l'intégrabilité fφ au voisinage de +∞. Un argument (même rapide) pour obtenir l'intégrabilité au voisinage de -∞ est attendu. »
Q5 — domination locale au lieu de globale-2 pts
« De très nombreuses erreurs de majoration pour vérifier l'hypothèse de domination. De façon générale, l'inégalité triangulaire, très utile dans ce sujet, a été fortement malmenée ! Travailler avec une hypothèse de domination locale, autrement dit, prendre t dans un segment [a, b] n'a pas de sens ici, car on étudie une limite en +∞. »
Q6 — valeur absolue n'est pas croissante-1 pts
« On rappelle à ce propos que la valeur absolue n'est pas une fonction croissante ! »
Q9 — domination « analogue » sans réécriture-1 pts
« On ne peut pas se contenter de dire que la domination est « analogue » à celle de la question 8, car ce ne sont pas les mêmes variables qui sont en jeu dans les questions 8 et 9. »
Q10 — calculs truqués pour atteindre le résultat-2 pts
« Parmi ces candidats, un nombre conséquent truquent les calculs pour parvenir malgré tout au résultat annoncé par l'énoncé. Cette façon de procéder donne une très mauvaise impression au correcteur. »
Q19 — confusion Pt(f')(x) vs Pt(f)'(x)-1 pts
« Quelques candidats cherchent à tromper le correcteur pour faire apparaître le facteur e^{-2t}, alors qu'ils confondent dans les lignes qui précèdent Pt(f')(x) et Pt(f)'(x). »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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FAQ
