Top piège du sujet
X₁+...+Xₙ aurait même loi que nX₁ (FAUX)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
7.98
Médiane
7.3
Écart-type
3.54
Q1 (25%)
5.2
Q3 (75%)
9.8
Candidats présents
4 412
sur 4 804 inscrits · 8.2% d'absents
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet de probabilités sur les variables aléatoires à valeurs dans ℕ écrites comme somme de deux variables entières non constantes et indépendantes (décomposable), ou de variables iid (divisible). Partie I : exemples décomposables (binomiales, uniformes). Partie II : variables infiniment divisibles, lois de Poisson, sommes pondérées. Partie III : caractérisation via le logarithme de la fonction génératrice.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Variables décomposables, exemples binomiales et uniformes(I.A-I.C)Difficile
Fonctions génératrices, indépendance des variables, lois 𝓑(2,1/2) et uniformes. Plus de la moitié des candidats invente un théorème d'identification faux sur I.B.2b. Moins d'un candidat sur 100 traite explicitement la définition de Q et R via division euclidienne en I.B.1a.
- Partie II — Variables infiniment divisibles, lois de Poisson(II.A-II.C)Très difficile
Beaucoup oublient l'indépendance. II.A.2a : plus de 80% pensent à tort que X₁+...+Xₙ a même loi que nX₁. La question difficile II.B.4 a permis aux candidats avec recul de proposer une solution fortement valorisée.
- Partie III — Caractérisation via logarithme de fonction génératrice(III.A)Très difficile
Partie peu abordée. La première question (suite récurrente λₖ) suffisait en quelques lignes. III.A.6 : prendre le logarithme à l'intérieur du disque de convergence sans s'inquiéter de la positivité.
Analyse globale du jury
« Une très grande partie des candidats confond les notions les plus importantes en probabilités, notamment les variables aléatoires et leurs lois. Dans ce contexte, la propriété d'indépendance est très mal comprise ; son importance capitale n'a pas toujours été perçue. Peu de candidats font l'effort de s'approprier les notions du sujet en vérifiant les définitions à l'aide des premiers exemples. Les questions d'analyse (séries entières) et d'algèbre (polynômes) ont été décevantes ; le jury note un manque de rigueur général, sans parler de la tendance à inventer de nouveaux « théorèmes » en cas de difficulté. Les meilleurs candidats ont cité précisément les hypothèses du sujet et les théorèmes du cours. »
Top pièges sanctionnés
X₁+...+Xₙ aurait même loi que nX₁ (FAUX)-3 pts
« La question II.A.2a a montré une grande confusion dans l'esprit des candidats : plus de 80% de ceux qui traitent la question pensent que X₁ + ⋯ + Xₙ a même loi que nX₁, puisque les Xᵢ sont indépendantes et de même loi. Aucun d'entre eux ne semble réagir en se disant que dans ces conditions, la notion de divisibilité ne présenterait aucun intérêt. »
Inventer un théorème d'identification de factorisation-3 pts
« Plus de la moitié des candidats traitent la question (difficile) I.B.2b, en inventant un théorème d'identification : si on a deux factorisations A = UV = U₁V₁ avec égalité des degrés (même pas d'égalité des coefficients dominants), alors U = U₁ et V = V₁. Il est clair qu'une telle affirmation est lourdement pénalisante pour la suite de la copie. »
Indépendance, confondue avec lois et oubliée-2 pts
« Dans I.A.3 et suivantes, et également dans II.B.3, il faut rappeler aux candidats que l'indépendance est une notion qui s'applique aux variables aléatoires, pas aux lois ; on ne peut pas déduire du choix des lois de deux variables qu'elles sont indépendantes. Et l'indépendance est essentielle dans la définition de décomposition. »
Indécomposable confondu avec irréductibilité polynomiale-2 pts
« Trop souvent, dans cette question et dans I.B.2a, le caractère indécomposable d'une variable est confondu avec la simple irréductibilité de sa fonction génératrice, lorsque c'est un polynôme. »
lim Sₙ = S impliquerait lim ℙ(Sₙ ≠ S) = 0-1 pts
« Dans la question II.C.2c, les candidats croient le plus souvent que lim Sₙ = S entraîne automatiquement que lim ℙ(Sₙ ≠ S) = 0. »
Rédaction approximative, copies sanctionnées-2 pts
« Une copie rédigée correctement permet de suivre sans effort la démarche proposée par le candidat, et ceci est toujours apprécié et valorisé. À l'inverse, une copie difficilement lisible, écrite dans un français approximatif, présentant de nombreuses ratures ou fautes d'orthographe, ne mettant pas en valeur les résultats démontrés, est forcément sanctionnée. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2017 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec MP 2017 s'est déroulée fin avril 2017, en 4 heures, coefficient 19. Sujet de probabilités autour des variables aléatoires décomposables, divisibles et infiniment divisibles.
Le problème porte sur les conditions sous lesquelles une variable aléatoire à valeurs dans ℕ peut s'écrire comme somme de deux variables entières non constantes et indépendantes (décomposable), ou comme somme de variables discrètes indépendantes et de même loi (divisible). Partie I : exemples de variables décomposables (binomiales, uniformes). Partie II : variables infiniment divisibles, lois de Poisson, convergence d'une somme pondérée. Partie III : caractérisation via le logarithme de la fonction génératrice.
La moyenne brute s'est établie à 7.98/20 (la plus basse des deux maths), écart-type 3.54. Médiane 7.3, premier quartile 5.2, troisième quartile 9.8. 4412 candidats présents sur 4804 inscrits, taux d'absents 8.2%, le plus élevé des épreuves de maths. La distribution est concentrée sur 4-9/20 (plus de 60% des copies).
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2017 est explicite : « les meilleurs candidats sont ceux qui ont abordé le problème en citant précisément les hypothèses du sujet et les théorèmes du cours ». Stratégie clé : maîtriser l'indépendance et les fonctions génératrices avant tout, refuser d'inventer un théorème en cas de difficulté.
Si tu vises 8-10/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur I.A.1 à I.A.3 (questions de cours sur les fonctions génératrices) et II.A.1 (loi de la somme, attention au piège : X₁+...+Xₙ ≠ nX₁). Ces questions sont accessibles si tu connais la notion d'indépendance, qui est, le jury le souligne, « très mal comprise ».
Si tu vises 13+ (top 10%)
Il faut aborder I.B.1a (division euclidienne définissant Q et R, moins d'un candidat sur 100 l'a fait explicitement), I.B.2c-e (récurrence forte sur le télescopage du produit UV), et II.B.4 (« question difficile fortement valorisée »). La partie III, peu traitée, peut faire la différence.
Gestion des 4h : 1h30 sur la partie I (I.A puis I.B en évitant l'invention de théorèmes en I.B.2b), 1h30 sur la partie II (II.A bien maîtrisée + II.B fonction caractéristique de Poisson par récurrence avec lemme des coalitions), 45 min sur la partie III pour grappiller des points (la suite récurrente λₖ se traite en quelques lignes), 15 min de relecture. Ne pas inventer de théorème est ici la consigne #1, c'est lourdement pénalisant pour toute la suite.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Faire des probabilités, c'est avant tout faire des mathématiques. L'intuition joue un rôle accru, mais elle ne remplace pas une vraie démonstration explicitant les hypothèses et les théorèmes utilisés.
- L'indépendance s'applique aux variables, pas aux lois. On ne peut pas déduire du choix des lois de deux variables qu'elles sont indépendantes, il faut absolument en faire état dans la définition de décomposition.
- Ne pas confondre indécomposable et irréductible. Le caractère indécomposable d'une variable n'équivaut pas à l'irréductibilité polynomiale de sa fonction génératrice (même si c'est un polynôme).
- Préciser le rayon de convergence avant unicité des coefficients. Pour la première question, presque tous oublient de préciser que le rayon de convergence de Gₓ est strictement positif, sans cette hypothèse, l'unicité des coefficients ne s'applique pas.
- S'approprier les notions du sujet rapidement. Vérifier scrupuleusement les définitions à l'aide des premiers exemples traités, et mentionner explicitement chaque hypothèse mobilisée.
Ressources
Téléchargements
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