Top piège du sujet
Diviser par une fonction « non identiquement nulle » (mais qui peut s'annuler)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.46
Médiane
7.8
Écart-type
3.60
Q1 (25%)
5.8
Q3 (75%)
10.6
Candidats présents
4 451
sur 4 818 inscrits · 7.6% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.48 par rapport à 2017 (8.46 vs 7.98). Écart-type stable (σ=3.6). Sujet plus accessible que la session précédente.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en cinq parties autour de l'opérateur Laplacien Δ sur l'espace des fonctions régulières définies sur ℝⁿ. La majeure partie concerne les fonctions harmoniques (Δf = 0) : stabilité par somme et combinaison linéaire, résolution sur ℝ² sous trois types d'hypothèses (variables séparées, fonctions radiales, variables polaires séparables), principe du maximum faible, lien avec les fonctions développables en série entière, problème de Dirichlet.
Structure de l'épreuve
- Partie I — I, Fonctions harmoniques : quelques propriétés(Q1-Q4)Abordable
Stabilité par somme et combinaison linéaire (espace vectoriel). 70 % des candidats n'arrivent pas à déterminer les fonctions régulières dont toutes les dérivées partielles d'ordre 1 sont nulles.
- Partie II — II, Exemples de fonctions harmoniques(Q5-Q20)Niveau attendu
Variables séparées f(x,y)=u(x)v(y), fonctions radiales u(r), variables polaires séparables u(r)g(θ). Beaucoup de questions abordables. Pièges : division par fonction « non identiquement nulle » et périodicité de cos(√λ x).
- Partie III — III, Principe du maximum faible(Q21-Q25)Niveau attendu
Maximum d'une fonction harmonique atteint au bord du domaine. Caractérisation des compacts de ℝⁿ assez bien comprise. Q24 nécessite la compacité de ∂U pour le passage à la limite ε → 0.
- Partie IV — IV, Fonctions harmoniques et séries entières(Q26-Q37)Difficile
Niveau plus élevé. Démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss (Q37, traitée par 80 copies). Q36 « point le plus difficile du sujet » : seules 10 copies contenaient une argumentation satisfaisante.
- Partie V — V, Problème de Dirichlet sur le disque unité(Q38-Q44)Très difficile
Existence et unicité du prolongement harmonique sur le disque unité. Très difficile. La toute dernière question (Q44) traitée dans une dizaine de copies. Néanmoins, deux questions calculatoires faciles (Q38, Q41) bien repérées.
Analyse globale du jury
« La partie I, à priori très facile, n'a pas eu le succès escompté, manifestation que le cours de calcul différentiel est mal assimilé : la majorité des candidats considère que toutes les dérivées partielles sont de la forme ∂^α/∂x_k^α et ne mentionnent pas les dérivées croisées ; environ 70 % des candidats n'arrivent pas à déterminer les fonctions régulières dont toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) sont nulles. La partie II contient beaucoup de questions abordables et beaucoup de candidats y ont puisé la majorité de leurs points. La partie IV a un niveau bien plus élevé que les précédentes. La partie V est très difficile mais beaucoup de candidats y ont repéré deux questions calculatoires très faciles. »
Top pièges sanctionnés
Diviser par une fonction « non identiquement nulle » (mais qui peut s'annuler)-2 pts
« Près de 70 % de candidats passent de l'égalité u″(x)v(y) + u(x)v″(y) = 0 à u″(x)/u(x) + v″(y)/v(y) = 0 sous prétexte que u et v sont deux fonctions non identiquement nulles. Au-delà d'une faute mathématique, il s'agit d'un sérieux problème de réflexe : on ne peut pas diviser par zéro ! »
Périodicité fausse de cos(√λ x) pour tout λ > 0-2 pts
« La quasi-totalité des copies (même les meilleures !) ont affirmé que la fonction x ↦ cos(√λ x) est 2π-périodique quelle que soit la valeur de λ > 0. »
Théorème de Schwarz invoqué sans hypothèses (Q9)-2 pts
« Beaucoup de candidats ont fait l'effort d'écrire le calcul (long d'une page environ) en invoquant l'argument exact du théorème de Schwarz et ont donc bénéficié de tous les points. Le jury a choisi de ne pas valoriser les candidats ayant affirmé le résultat sans justification. »
Changement de variables polaires : oubli du retour aux variables (x,y)-1 pts
« Environ 66 % des copies ne reviennent pas aux variables x et y, c'est-à-dire à A·ln(√(x²+y²)) + B ! »
« Par théorème », sans dire lequel-2 pts
« Le jury déplore notamment l'horrible expression « par théorème » devenue courante dans les copies : le jury n'a pas forcément compris à quel théorème les copies faisaient référence… »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2018 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec MP 2018 s'est déroulée fin avril 2018, en 4 heures, coefficient 19. 4451 candidats présents pour 4818 inscrits (7.6 % d'absents).
Sujet en cinq parties autour de l'opérateur Laplacien Δ et des fonctions harmoniques (Δf = 0) sur ℝⁿ. L'opérateur Laplacien apparaît dans plusieurs équations fondamentales de la physique (ondes, Schrödinger, chaleur), mais le sujet est auto-contenu. Le fil conducteur : résolution de Δf = 0 sur ℝ² sous trois types d'hypothèses, principe du maximum faible, lien avec les fonctions développables en série entière, et finalement problème de Dirichlet sur le disque unité.
La moyenne brute s'est établie à 8.46/20, écart-type 3.60. Médiane 7.8, premier quartile 5.8, troisième quartile 10.6. Distribution proche de Maths I (M=8.47, σ=3.57). L'écart Q1–Q3 est de 4.8 points : épreuve modérément discriminante.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2018 rappelle qu'« il n'est pas nécessaire d'aborder toutes les questions pour avoir une très bonne note ». Stratégie clé : capitaliser sur la partie II (variables séparées, fonctions radiales) où beaucoup de candidats puisent la majorité de leurs points, puis cibler les questions calculatoires faciles que le jury signale explicitement (Q38, Q41 dans la partie V difficile).
Si tu vises 8-11/20 (médiane à top 25%)
Concentre-toi sur la partie II (Q5-Q20) : équations y″ + λy = 0 selon signe de λ, changement de variables polaires en revenant à (x,y). Soigne Q1 (sous-espace vectoriel) et la partie III (compacts de ℝⁿ, extrema). Évite la division par fonctions « non identiquement nulles ».
Si tu vises 13+ (top 10%)
Il faut traiter Q26-Q33 (séries entières, théorème de permutation série-dérivée), Q37 (preuve d'Alembert-Gauss, traitée par 80 copies). La Q36 (|f| constante ⟹ f constante) est le « point le plus difficile du sujet », abordée par seulement 10 copies. Repère Q38 et Q41 même si tu n'as pas traité tout V.
Gestion des 4h : 30 min sur la partie I, 1h30 sur la partie II (Q5-Q20), 45 min sur la partie III (Q21-Q25), 1h sur la partie IV (Q26-Q37), 15 min pour repérer Q38/Q41 dans la partie V. Pas de bidouillage : « le jury rappelle aux candidats que tous leurs calculs sont lus et il est donc illusoire de simuler une bonne réponse avec des calculs hasardeux ».
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Ne pas diviser par une fonction qui peut s'annuler. « Une fonction non identiquement nulle peut très bien s'annuler ! », réflexe à acquérir avant tout passage en quotient.
- Distinguer dérivées partielles simples et croisées. La majorité des candidats ne mentionnent pas les dérivées partielles croisées ∂²/∂x_i∂x_j et perdent des points dès la partie I.
- Bannir l'expression « par théorème » sans préciser lequel. Citer Schwarz, Pythagore, théorème de permutation série-dérivée par leur nom et vérifier les hypothèses (Q9, Q23, Q26).
- Ne pas bidouiller. « Tous leurs calculs sont lus et il est donc illusoire de simuler une bonne réponse avec des calculs hasardeux qui aboutissent, par magie, à la réponse demandée. »
- Utiliser la calculatrice à bon escient. Si une question demande de vérifier un calcul, une démonstration mathématique reste attendue ; la calculatrice est légitime quand l'énoncé requiert un calcul non donné.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ