Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
8.46
Médiane
7.8
Écart-type
3.60
Q1 (25%)
5.8
Q3 (75%)
10.6
Candidats présents
4 451
sur 4 818 inscrits · 7.6% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en cinq parties autour de l'opérateur Laplacien Δ sur l'espace des fonctions régulières définies sur ℝⁿ. La majeure partie concerne les fonctions harmoniques (Δf = 0) : stabilité par somme et combinaison linéaire, résolution sur ℝ² sous trois types d'hypothèses (variables séparées, fonctions radiales, variables polaires séparables), principe du maximum faible, lien avec les fonctions développables en série entière, problème de Dirichlet.
Structure de l'épreuve
- Partie I — I — Fonctions harmoniques : quelques propriétés(Q1-Q4)Abordable
Stabilité par somme et combinaison linéaire (espace vectoriel). 70 % des candidats n'arrivent pas à déterminer les fonctions régulières dont toutes les dérivées partielles d'ordre 1 sont nulles.
- Partie II — II — Exemples de fonctions harmoniques(Q5-Q20)Niveau attendu
Variables séparées f(x,y)=u(x)v(y), fonctions radiales u(r), variables polaires séparables u(r)g(θ). Beaucoup de questions abordables. Pièges : division par fonction « non identiquement nulle » et périodicité de cos(√λ x).
- Partie III — III — Principe du maximum faible(Q21-Q25)Niveau attendu
Maximum d'une fonction harmonique atteint au bord du domaine. Caractérisation des compacts de ℝⁿ assez bien comprise. Q24 nécessite la compacité de ∂U pour le passage à la limite ε → 0.
- Partie IV — IV — Fonctions harmoniques et séries entières(Q26-Q37)Difficile
Niveau plus élevé. Démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss (Q37, traitée par 80 copies). Q36 « point le plus difficile du sujet » : seules 10 copies contenaient une argumentation satisfaisante.
- Partie V — V — Problème de Dirichlet sur le disque unité(Q38-Q44)Très difficile
Existence et unicité du prolongement harmonique sur le disque unité. Très difficile. La toute dernière question (Q44) traitée dans une dizaine de copies. Néanmoins, deux questions calculatoires faciles (Q38, Q41) bien repérées.
Analyse globale du jury
« La partie I, à priori très facile, n'a pas eu le succès escompté — manifestation que le cours de calcul différentiel est mal assimilé : la majorité des candidats considère que toutes les dérivées partielles sont de la forme ∂^α/∂x_k^α et ne mentionnent pas les dérivées croisées ; environ 70 % des candidats n'arrivent pas à déterminer les fonctions régulières dont toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) sont nulles. La partie II contient beaucoup de questions abordables et beaucoup de candidats y ont puisé la majorité de leurs points. La partie IV a un niveau bien plus élevé que les précédentes. La partie V est très difficile mais beaucoup de candidats y ont repéré deux questions calculatoires très faciles. »
Top pièges sanctionnés
Diviser par une fonction « non identiquement nulle » (mais qui peut s'annuler)-2 pts
« Près de 70 % de candidats passent de l'égalité u″(x)v(y) + u(x)v″(y) = 0 à u″(x)/u(x) + v″(y)/v(y) = 0 sous prétexte que u et v sont deux fonctions non identiquement nulles. Au-delà d'une faute mathématique, il s'agit d'un sérieux problème de réflexe : on ne peut pas diviser par zéro ! »
Périodicité fausse de cos(√λ x) pour tout λ > 0-2 pts
« La quasi-totalité des copies (même les meilleures !) ont affirmé que la fonction x ↦ cos(√λ x) est 2π-périodique quelle que soit la valeur de λ > 0. »
Théorème de Schwarz invoqué sans hypothèses (Q9)-2 pts
« Beaucoup de candidats ont fait l'effort d'écrire le calcul (long d'une page environ) en invoquant l'argument exact du théorème de Schwarz et ont donc bénéficié de tous les points. Le jury a choisi de ne pas valoriser les candidats ayant affirmé le résultat sans justification. »
Changement de variables polaires : oubli du retour aux variables (x,y)-1 pts
« Environ 66 % des copies ne reviennent pas aux variables x et y, c'est-à-dire à A·ln(√(x²+y²)) + B ! »
« Par théorème » — sans dire lequel-2 pts
« Le jury déplore notamment l'horrible expression « par théorème » devenue courante dans les copies : le jury n'a pas forcément compris à quel théorème les copies faisaient référence… »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths MP, session 2018 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
