Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet portant principalement sur le programme d'algèbre linéaire avec quelques éléments d'analyse. Étude du déterminant wronskien Wn(f1,...,fn) et de sa relation avec la famille libre/liée des fi. Calcul de déterminants, multilinéarité, formule de Leibniz, dérivation terme à terme des séries entières, abaissement du degré par opérateur Δ.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q6 — Multilinéarité et familles libres(Q1-Q6)Niveau attendu
Q1 multilinéarité du déterminant ou argument polynomial — beaucoup ont écrit (di)^n = di^n (faux). Q2 multilinéarité bien traitée. Q3 det(A+B) = detA + detB (énormité). Q4 développement par rapport à la première colonne via Q3. Q5 famille liée ≠ deux vecteurs proportionnels.…
- Partie II — Q7-Q12 — Wronskien et restes en o(1)(Q7-Q12)Difficile
Q7 contraintes de Q6 — exemples triviaux (f1 = f2). Q8 distinguer cas f1 nulle vs non nulle, intégrer la combinaison linéaire. Q9 rarement correcte même pour n=2. Q10 dérivation terme à terme des séries entières + gestion des restes en o(1).…
- Partie III — Q13-Q20 — Opérateur Δ et conclusion(Q13-Q20)Très difficile
Q13 Δ abaisse d'une unité le degré (identité (X+1)^n - X^n = Σ C(n,k) X^k). Q15 k(2) = 1. Q16 Z1 = Z2 par multilinéarité ; deuxième partie peu traitée (minimalité de k(n)). Q17 divisibilité de (fn)^(i) par f_{n-i}. Q19 non-nullité de Z1 cruciale.
Analyse globale du jury
« Le sujet portait principalement sur le programme d'algèbre linéaire avec quelques éléments d'analyse. Apprendre le cours en profondeur — de nombreux candidats ne maîtrisent pas les notions élémentaires de familles libres/liées, le calcul matriciel et celui des déterminants, le calcul intégral élémentaire. Il faut prendre le temps nécessaire pour saisir les objectifs du sujet et sa cohérence, et ne pas se laisser déstabiliser. Les candidats qui ont essayé de bien comprendre le fil conducteur du sujet et se sont servis correctement des questions précédentes ont été récompensés. »
Top pièges sanctionnés
Q1 — (di)^n = di^n (absurde)-2 pts
« Le jury regrette enfin d'avoir lu, sur un nombre non négligeable de copies, des tentatives pour prouver l'absurdité (di)^n = di^n. »
Q3 — det(A+B) = detA + detB (énormité)-2 pts
« Un bon nombre de candidats s'est égaré dans des énormités du type det(A+B) = detA + detB. »
Q5 — famille liée = deux proportionnels (faux)-2 pts
« Cette question très élémentaire a été en général bien traitée. Toutefois, le jury s'est étonné de constater qu'un nombre non négligeable de candidats ignorait la définition d'une famille liée : des vecteurs f1,..., fn peuvent être liés sans qu'ils en existe deux qui soient proportionnels ! »
Q12 — déterminants de vecteurs lignes (sans sens)-2 pts
« On a rencontré avec surprise dans certaines copies des objets dénués de sens comme des déterminants de vecteurs lignes. »
Q14 — « linéarité de g » invoquée à tort-1 pts
« De trop nombreux candidats ont pensé résoudre cette question en composant à gauche l'identité de la question précédente par g, allant parfois jusqu'à invoquer la « linéarité de g ». »
Q7 — exemples triviaux (f1 = f2)-1 pts
« Les bonnes réponses ont été extrêmement rares : dans la plupart des copies où cette question a été abordée, l'exemple proposé est formé de deux fonctions trivialement liées (voire identiques !). L'immense majorité de candidats n'a pas vu les contraintes imposées par la question 6 pour construire un tel exemple. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2016 · PDF officiel ↗
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