Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Estimation du temps moyen de première répétition d'un processus aléatoire simple via Tn(1) = Σ n^k/k! pour k de 0 à n. Cinq parties — les 4 premières sur les sommes partielles de la série exponentielle, la dernière probabiliste. Conçu pour être abordable et raisonnablement progressif, mais le jury constate qu'un grand nombre de notions de base ne sont pas maîtrisées.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Sommes partielles de l'exponentielle (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q2 formule de Taylor avec reste intégral. Q3 (1+1/n)^n → 1 (faux), minoration par 0 d'une suite décroissante n'implique pas convergence vers 0, d'Alembert présentée comme condition nécessaire et suffisante (faux). Q4 dérivation de u ↦ u e^{-u}.
- Partie II — Partie II — Étude de fonctions et convergence dominée (Q6-Q11)(Q6-Q11)Difficile
Q8 maximum local en 0 — point intérieur. Q9 fonction continue sur ]-1,1[ strictement positive non minorée par un réel > 0. Q10 continuité par morceaux de gn — limites à gauche/droite, pas stable par composition ; majorations étranges.…
- Partie III — Partie III — Application asymptotique (Q12-Q15)(Q12-Q15)Difficile
Q13 dérivée de x ↦ 2^x. Q14 vérifier (x+1)e^{-x} satisfait les hypothèses de la partie II. Q15 Jn → 0 ne suffit pas pour Tn + Jn ~ In ; expliquer Jn = o(In).
- Partie IV — Partie IV — Estimation Tn(1) (Q16-Q17)(Q16-Q17)Très difficile
Q17 passage de Rn(1) à Tn(1) à justifier correctement.
- Partie V — Partie V — Probabilités (Q18-Q22)(Q18-Q22)Très difficile
Q18 random ou randint introduits à tort dans l'algorithme. Q19 exhiber un événement de probabilité > 0 inclus dans (X=k). Q20 P(X>k+1, X>k) = P(X>k+1) via inclusion (X>k+1) ⊂ (X>k). Q22 cours, peu traitée.
Analyse globale du jury
« Le sujet avait été conçu pour être abordable et raisonnablement progressif, mais le jury a constaté que, bien souvent, un grand nombre de notions de base n'étaient pas maîtrisées par les candidats, et que leurs réponses (y compris aux questions les plus faciles) manquaient de justifications satisfaisantes. Conseils : rédiger de façon efficace (pas des pages pour la convergence d'une intégrale) ; consolider la maîtrise des techniques asymptotiques (limites quand n→+∞ qui dépendent de n, DL sans reste, manipulations douteuses des équivalents). »
Top pièges sanctionnés
Q3 — (1+1/n)^n → 1 (faux)-2 pts
« Dans la question 3, un trop grand nombre de candidats croit que (1+1/n)^n → 1. »
Q3 — d'Alembert présentée comme CNS-1 pts
« Dans cette même question la règle de d'Alembert – très souvent invoquée à juste titre par les candidats – est souvent présentée comme une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une série. »
Q9 — fonction continue strictement positive minorée par > 0 (faux)-2 pts
« En général, une fonction continue sur l'intervalle ouvert ]-1, 1[ et strictement positif n'est pas minorée par un réel strictement positif. »
Q11 — « formule de l'intégrale de Gauss » au lieu de convergence dominée-2 pts
« À la question 11, un certain nombre de candidats se contente d'invoquer « la formule de l'intégrale de Gauss » pour justifier le passage à la limite sous le signe intégral, en lieu et place d'une application du théorème de convergence dominée auquel le texte conduisait naturellement. »
Q15 — Jn → 0 ⇒ Jn = o(In) (faux)-2 pts
« Il était insuffisant d'affirmer que Jn → 0 pour en déduire que In + Jn ~ In, mais il fallait expliquer pourquoi Jn = o(In). »
Q18 — random/randint dans l'algorithme-1 pts
« Dans la question 18, beaucoup de candidats introduisent de l'aléatoire dans l'algorithme avec une fonction random ou randint. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PC, session 2017 · PDF officiel ↗
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Téléchargements
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