Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème consacré aux matrices quasi-nilpotentes. En général les candidats ont abordé Q1-Q14, et pour les meilleurs la totalité du sujet. Un nombre non négligeable a tenté de grapiller des points sur Q15-Q22 (notamment Q18 sans Q17) — stratégie non récompensée. Les notions élémentaires (matrices par blocs, déterminant, polynôme caractéristique) sont maîtrisées ; en revanche la logique et la rigueur laissent souvent à désirer.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — Exemples et fondamentaux (Q1-Q9)(Q1-Q9)Niveau attendu
Q1 polynôme caractéristique de D — un polynôme non scindé peut admettre des racines, vacuité du spectre acceptable. Q3 preuve formelle qu'un sous-espace en est un — Mat(K) = S_n(K) ⊕ A_n(K) hors-programme PSI. Q4 valeurs propres d'une matrice triangulaire = coefficients diagonaux. Q5 réduction de…
- Partie II — Partie B — Récurrence sur la dimension (Q10-Q14)(Q10-Q14)Difficile
Q10 V' sous-espace vectoriel à justifier. Q11 récurrence appliquée à K(V') — quasi-nilpotence de E_{n,1} d'aucun secours. Q12 facile mais argumentation floue. Q13 P_σ matrice de u_σ dans la base canonique presque jamais expliqué. Q14 P_σ^{-1} M P_σ comme matrice dans la base permutée.
- Partie III — Partie C — Inégalité (QN) (Q15-Q22)(Q15-Q22)Très difficile
Q15 V^σ sous-espace vectoriel ET quasi-nilpotent ; matrices semblables ont même spectre. Q16 permutation σ explicite. Q17 presque aucun candidat — anciens MPSI confondent avec orbites de permutation, mais f n'est pas bijective. Q18 pseudo-code accepté. Q19 résoudre patiemment NX=X. Q20 confusion…
Analyse globale du jury
« Cette épreuve a permis de tester les candidats sur les notions d'algèbre linéaire des programmes de première et de deuxième année. La présentation et l'orthographe sont importants : copies très sales ou avec trop de fautes pénalisées. Concernant les mathématiques, la plupart des candidats maîtrisent les notions élémentaires concernant les matrices par blocs, le déterminant et le polynôme caractéristique. En revanche la logique et surtout la rigueur laissent souvent à désirer. Globalement, les candidats ont eu du mal à saisir la structure du sujet. Le jury a systématiquement bonifié les notes des candidats ayant fait preuve de clairvoyance. Conseil clé : il est toujours préférable d'analyser un nombre réduit de questions en profondeur plutôt que de traiter superficiellement la totalité… »
Top pièges sanctionnés
Q3 : admettre que dim A_n(R) ou M_n(R) = S_n(R) ⊕ A_n(R) (hors-programme PSI)-2 pts
« Il n'était pas recevable, à la question 3, de tenir pour acquises la dimension de A_n(R) et l'égalité M_n(R) = S_n(R) ⊕ A_n(R) (résultats qui ne figurent pas formellement au programme de la filière PSI). »
Q3 : confondre application linéaire et sous-espace dans le théorème du rang-2 pts
« Attention au théorème du rang : trop de candidats confondent application linéaire et sous-espace vectoriel ; on trouve trop souvent des égalités dénuées de sens du type dim S_n(K) = rg S_n(K) + dim Ker S_n(K) ! »
Q5 : passer de l'antisymétrie de XAX^t à sa nullité sans expliquer que c'est un scalaire-2 pts
« Il ne suffisait pas de vérifier l'égalité lorsque X parcourt la base canonique de R^n : l'application X ↦ XAX^t n'est pas linéaire ! Par ailleurs, les candidats qui passent de l'antisymétrie de XAX^t à sa nullité devaient expliquer que XAX^t est un scalaire. »
Q8 : confondre supplémentaire et complémentaire ; un sev a un unique supplémentaire-3 pts
« Cette question a mis en évidence de graves erreurs de raisonnement de la part des candidats. La plus fréquente consistait à confondre supplémentaire et complémentaire ou encore à prétendre qu'un sous-espace vectoriel possède un unique supplémentaire. Trop souvent, on lit dans les copies que puisque V est en somme directe avec S_n(R) il doit être inclus dans A_n(R) ! Non seulement il s'agit d'une erreur de base relevant du programme de première année, mais les exemples de la partie précédente suffisaient à écarter d'un revers de main ce type de conclusion. »
Q17 : confondre f avec une permutation bijective et invoquer les orbites-3 pts
« Presque aucun candidat n'a réussi cette question. Les anciens élèves de MPSI ont cru reconnaître, à tort, leur cours sur les orbites d'une permutation. Ici, f n'a aucune raison d'être bijective, et la suite des itérés (f^k(1))_{k∈N} ne reboucle pas sur 1 en général. L'argument du finitude (ou le lemme des tiroirs) n'apparaît presque jamais. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2016 · PDF officiel ↗
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