Top piège du sujet
Q1 : confondre matrice symplectique et matrice orthogonale dès la première question
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème exigeant une bonne habileté en calcul matriciel et une bonne connaissance du cours d'algèbre linéaire et bilinéaire. Il fallait utiliser abondamment les techniques relatives aux matrices représentées par blocs (rappelées dans la partie « Notations »). Les résultats précédents à utiliser étaient souvent suggérés par l'énoncé (Q7 utilise Q6, Q10 utilise Q2 et Q7, etc.). Une grande partie des candidats ont abordé les trois quarts du sujet, jusqu'aux questions 13 et 14. Un certain nombre…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Groupe symplectique : propriétés usuelles(Q1-Q8)Niveau attendu
Q1 J inversible (déterminant scalaire, pas In). Q2 calcul direct (définition K(α)JK(α)^t et non K(α)K(α)^t). Q3 transposée d'une matrice par blocs. Q4 simplification par det(J). Q5 stabilité par produit. Q6-Q7 inverse. Q8 problèmes logique condition nécessaire vs suffisante.
- Partie II — Partie II, Centre du groupe symplectique(Q9-Q14)Difficile
Q9 lire l'énoncé : éléments de Z parmi ceux de Sp_2n. Q10 montrer que L est symplectique. Q11 facile, quasiment toujours bien traitée. Q12 commutation avec I+E_{i,j}, A scalaire. Q13 confusion implication/réciproque, multiplication matricielle non commutative. Q14 question de synthèse astucieuse…
- Partie III — Partie III, Déterminant d'une matrice symplectique(Q15-Q19)Très difficile
Q15 inspirée de l'orthogonalité des sous-espaces propres ; opérations illicites en algèbre linéaire (divisions de matrices, produits scalaires de matrices). Q16 souvent bien traitée. Q17 algèbre bilinéaire proche du cours, famille libre. Q18 raisonnement subtil, rédaction soignée. Q19 synthèse…
Analyse globale du jury
« Les notes obtenues sont étalées de 0 à 20. Les correcteurs ont utilisé un barème généreux, et la moyenne obtenue par les candidats est de 9 sur 20. Les prestations des candidats sont très variables. Pour beaucoup de candidats, l'énoncé est souvent lu avec une attention insuffisante, le cours est mal su, aussi bien en ce qui concerne les définitions que les théorèmes et démonstrations classiques. À l'opposé, beaucoup de candidats maitrisent bien le cours, et ont su traiter complètement et correctement l'intégralité du sujet. Constat décevant concernant des copies où de nombreuses questions difficiles sont traitées : solutions très mal rédigées, implications et équivalences écrites à tort et à travers, cadres de preuve mal définis. Certains bons élèves travaillent ainsi de façon… »
Top pièges sanctionnés
Q1 : confondre matrice symplectique et matrice orthogonale dès la première question-3 pts
« Certains candidats affirment dès cette première question, à tort, qu'une matrice est symplectique si et seulement si elle est orthogonale, ce qui a pour conséquence que presque toutes les solutions des questions suivantes sont fausses. »
Q2 : confondre la définition d'une matrice symplectique-2 pts
« En particulier, certains candidats n'ont pas compris la définition d'une matrice symplectique et ont calculé K(α)K(α)^t au lieu de K(α)JK(α)^t. »
Q5 : prendre deux exemples particuliers et conclure pour tout le groupe-2 pts
« Certains candidats prennent deux éléments particuliers de Sp_2n, par exemple J et K(α), constatent que le produit JK(α) est dans Sp_2n, puis écrivent « donc, le produit de deux éléments de Sp_2n est dans Sp_2n », et pensent avoir prouvé la propriété demandée ! »
Q13 : penser que la multiplication de matrices carrées est commutative-2 pts
« On rencontre toujours des problèmes de logique, avec la confusion entre implication et implication réciproque. Il faut noter que de nombreux calculs et résultats sont faux, parce que le candidat pense que la multiplication de deux matrices carrées est commutative. »
Q15 : opérations illicites (divisions de matrices, produits scalaires de matrices)-3 pts
« Dans la majorité des copies, les candidats montrent leur grande incompréhension en algèbre linéaire et bilinéaire, et font des opérations illicites : divisions de matrices, produits scalaires de matrices et de vecteurs, produits de matrices impossibles, etc... »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2015 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2015
L'épreuve Maths II Mines-Ponts PSI 2015 s'est déroulée fin avril 2015, durée 4h, coefficient 3. Le concours commun Mines-Ponts ouvre 9 écoles d'ingénieur en filière PSI (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Algèbre linéaire et bilinéaire : matrices symplectiques et groupe symplectique Sp_2n. Trois parties : (1) introduction du groupe et propriétés usuelles ; (2) centre du groupe ; (3) déterminant d'une matrice symplectique. Calcul matriciel par blocs intensif.
Le rapport jury : « Les notes obtenues sont étalées de 0 à 20. Les correcteurs ont utilisé un barème généreux, et la moyenne obtenue par les candidats est de 9 sur 20. Les prestations des candidats sont très variables. Pour beaucoup de candidats, l'énoncé est souvent lu avec une attention insuffisante, le cours est mal su, aussi bien en ce qui concerne les définitions que les théorèmes et démonstrations classiques. À l'opposé, beaucoup de candidats maitrisent bien le cours, et ont su traiter complètement et… ». Voir la synthèse complète plus haut.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2015 pointe : « Certains candidats affirment dès cette première question, à tort, qu'une matrice est symplectique si et seulement si elle est orthogonale, ce qui a pour conséquence que presque toutes les solutions des questions suivantes sont fausses ». Stratégie clé : maîtriser le cours et soigner la rédaction. Mines-Ponts pénalise les copies bâclées même quand le calcul est juste.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise les questions de cours (définitions, énoncés des théorèmes avec hypothèses) et les questions calculatoires de début de sujet. La majorité des points se gagne là.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Aborde les questions difficiles seulement si Q1-Q60% sont propres. Le jury préfère des copies courtes et propres aux copies longues et brouillonnes.
Gestion des 4h : lecture intégrale du sujet (5-10 min), traitement linéaire en sécurisant le cours, finir par les questions de synthèse. Numérisation des copies : ratures propres, pas d'encre gommable, résultats soulignés.
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Q1 : confondre matrice symplectique et matrice orthogonale dès la première question : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q2 : confondre la définition d'une matrice symplectique : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q5 : prendre deux exemples particuliers et conclure pour tout le groupe : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q13 : penser que la multiplication de matrices carrées est commutative : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
- Q15 : opérations illicites (divisions de matrices, produits scalaires de matrices) : sanctionné par le jury, citation exacte dans la section pièges plus haut.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ