Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Problème exigeant une bonne habileté en calcul matriciel et une bonne connaissance du cours d'algèbre linéaire et bilinéaire. Il fallait utiliser abondamment les techniques relatives aux matrices représentées par blocs (rappelées dans la partie « Notations »). Les résultats précédents à utiliser étaient souvent suggérés par l'énoncé (Q7 utilise Q6, Q10 utilise Q2 et Q7, etc.). Une grande partie des candidats ont abordé les trois quarts du sujet, jusqu'aux questions 13 et 14. Un certain nombre…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Groupe symplectique : propriétés usuelles(Q1-Q8)Niveau attendu
Q1 J inversible (déterminant scalaire, pas In). Q2 calcul direct (définition K(α)JK(α)^t et non K(α)K(α)^t). Q3 transposée d'une matrice par blocs. Q4 simplification par det(J). Q5 stabilité par produit. Q6-Q7 inverse. Q8 problèmes logique condition nécessaire vs suffisante.
- Partie II — Partie II — Centre du groupe symplectique(Q9-Q14)Difficile
Q9 lire l'énoncé : éléments de Z parmi ceux de Sp_2n. Q10 montrer que L est symplectique. Q11 facile, quasiment toujours bien traitée. Q12 commutation avec I+E_{i,j}, A scalaire. Q13 confusion implication/réciproque, multiplication matricielle non commutative. Q14 question de synthèse astucieuse…
- Partie III — Partie III — Déterminant d'une matrice symplectique(Q15-Q19)Très difficile
Q15 inspirée de l'orthogonalité des sous-espaces propres ; opérations illicites en algèbre linéaire (divisions de matrices, produits scalaires de matrices). Q16 souvent bien traitée. Q17 algèbre bilinéaire proche du cours, famille libre. Q18 raisonnement subtil, rédaction soignée. Q19 synthèse…
Analyse globale du jury
« Les notes obtenues sont étalées de 0 à 20. Les correcteurs ont utilisé un barème généreux, et la moyenne obtenue par les candidats est de 9 sur 20. Les prestations des candidats sont très variables. Pour beaucoup de candidats, l'énoncé est souvent lu avec une attention insuffisante, le cours est mal su, aussi bien en ce qui concerne les définitions que les théorèmes et démonstrations classiques. À l'opposé, beaucoup de candidats maitrisent bien le cours, et ont su traiter complètement et correctement l'intégralité du sujet. Constat décevant concernant des copies où de nombreuses questions difficiles sont traitées : solutions très mal rédigées, implications et équivalences écrites à tort et à travers, cadres de preuve mal définis. Certains bons élèves travaillent ainsi de façon… »
Top pièges sanctionnés
Q1 : confondre matrice symplectique et matrice orthogonale dès la première question-3 pts
« Certains candidats affirment dès cette première question, à tort, qu'une matrice est symplectique si et seulement si elle est orthogonale, ce qui a pour conséquence que presque toutes les solutions des questions suivantes sont fausses. »
Q2 : confondre la définition d'une matrice symplectique-2 pts
« En particulier, certains candidats n'ont pas compris la définition d'une matrice symplectique et ont calculé K(α)K(α)^t au lieu de K(α)JK(α)^t. »
Q5 : prendre deux exemples particuliers et conclure pour tout le groupe-2 pts
« Certains candidats prennent deux éléments particuliers de Sp_2n, par exemple J et K(α), constatent que le produit JK(α) est dans Sp_2n, puis écrivent « donc, le produit de deux éléments de Sp_2n est dans Sp_2n », et pensent avoir prouvé la propriété demandée ! »
Q13 : penser que la multiplication de matrices carrées est commutative-2 pts
« On rencontre toujours des problèmes de logique, avec la confusion entre implication et implication réciproque. Il faut noter que de nombreux calculs et résultats sont faux, parce que le candidat pense que la multiplication de deux matrices carrées est commutative. »
Q15 : opérations illicites (divisions de matrices, produits scalaires de matrices)-3 pts
« Dans la majorité des copies, les candidats montrent leur grande incompréhension en algèbre linéaire et bilinéaire, et font des opérations illicites : divisions de matrices, produits scalaires de matrices et de vecteurs, produits de matrices impossibles, etc... »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2015 · PDF officiel ↗
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Téléchargements
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