Top piège du sujet
Utiliser la définition intégrale Γ(x) = ∫t^{x-1}e^{-t}dt alors que l'énoncé définit Γ par un produit infini
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
10.11
Médiane
10.1
Écart-type
4.25
Q1 (25%)
7.2
Q3 (75%)
13.0
Candidats présents
1 398
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne en hausse de +0.64 par rapport à 2020 (10.11 vs 9.47). Écart-type plus élevé (σ 3.81 → 4.25), notes plus dispersées. Sujet plus accessible que la session précédente. Effectif -12% (1580 → 1398 présents).
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en quatre parties (II et III indépendantes de I, IV synthétise I et III). Partie I : approche probabiliste de la fonction ζ de Riemann via la loi ζ de paramètre s>1. Indépendance des événements de divisibilité par les premiers, expression ζ(s)^{-1} = ∏(1−p^{-s}), valuations p-adiques indépendantes, fonction g = r_1 − r_3 (caractère de Dirichlet χ_4) et lien avec la fonction β. Partie II : démonstration du produit de Weierstrass sin(πx) = πx ∏(1 − x²/k²) par techniques…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Loi zêta sur ℕ* et produit eulérien(Q1-Q9)Difficile
Q1a (P(n|X) = 1/n^s, 80%), Q1b (indépendance mutuelle, 79%), Q2a (∏(1−p_i^{-s}), 92%), Q2b (passage à la limite via continuité décroissante, 73%), Q3a (ν_{p_k}(X)+1 ~ géométrique, 46%), Q3b technique difficile (<3%), Q3c (15%), Q4a (g multiplicative, 25%), Q4b (calcul de g(p^n) selon p mod 4, 59%...
- Partie II — Partie II, Produit de Weierstrass de sin(πx)(Q10-Q11)Difficile
Q10a (sin((2n+1)θ) = sin(θ)P_n(sin²θ) via Moivre, 45%), Q10b (factorisation P_n, 32%), Q10c (sin(πx) = (2n+1) sin(πx/(2n+1)) ∏(1 − sin²(πx/(2n+1))/sin²(kπ/(2n+1))), 71%), Q11a (convergence des u_{m,n} et v_{m,n}, 21%), Q11b (encadrement fin via 2/π ≤ sin x ≤ x sur [0,π/2], 28%), Q11c (sin(πx) = π...
- Partie III — Partie III, Fonction Γ via produit infini, log-convexité, identité de réflexion(Q12-Q17)Très difficile
Γ(x) définie par produit infini avec γ d'Euler, toute réponse utilisant la définition intégrale Γ(x) = ∫t^{x-1}e^{-t}dt sans démonstration est hors sujet. Q12 (convergence simple, 34%), Q13 (Γ(x+1) = xΓ(x), 12%), Q14a (C² et (lnΓ)''(x) = Σ 1/(x+k)², 10%), Q14b (lim_{x→+∞} (lnΓ)''(x) = 0, 25%), Q...
- Partie IV — Partie IV, Valeurs β(2k+1) via nombres d'Euler(Q18-Q19)Très difficile
Très peu abordée par manque de temps. Q18a (π/sin(πx) = Σ (−1)^n/(n+x) + Σ (−1)^n/(n+1−x) sur ]0,1[, 1%), Q18b (1/cos(πx) en série entière, 1% des candidats ont 30% des points), Q18c (E_{2k} = v^{(2k)}(0), 3%), Q19a (récurrence Σ(−1)^k C(2n,2k)E_{2k} = 0 et E_0, E_2, E_4, 2% ont 20%), Q19b (calcu...
Analyse globale du jury
« Cette année encore, le concours d'admission de l'École Polytechnique s'est déroulé à l'issue d'une année scolaire marquée par des conditions difficiles liées à la crise sanitaire. Le sujet de l'épreuve de Mathématiques B 2021 est découpé en quatre parties. La Partie I est indépendante des Parties II et III, et la Partie IV fait la synthèse des résultats obtenus dans les Parties I et III. Le sujet illustre de manière élémentaire le fait que l'approche probabiliste est déjà fortement présente dans un grand nombre de résultats d'arithmétique (Hardy, Ramanujan, Erdös, Käc et bien d'autres), théorèmes de répartition asymptotique des nombres premiers, théorème des nombres premiers, progression arithmétique de Dirichlet, Green-Tao. La Partie II démontre le produit de… »
Top pièges sanctionnés
Utiliser la définition intégrale Γ(x) = ∫t^{x-1}e^{-t}dt alors que l'énoncé définit Γ par un produit infini-3 pts
« Notons une démarche qui a porté un grand préjudice à un bon nombre de candidats. Bien que la fonction Γ puisse être définie par la formule intégrale Γ(x) = ∫₀^{+∞} t^{x-1}e^{-t} dt, x > 0, ce n'est pas le choix fait dans l'énoncé. En effet, ici la fonction Γ est définie à partir d'un produit infini. Ainsi, toute réponse aux questions utilisant (2) sans démonstration est hors sujet. »
Survoler le sujet à grappiller plutôt que de traiter correctement plusieurs questions consécutives-3 pts
« Comme chaque année, il est préférable de traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties en tentant de "grappiller" des points sur les questions les plus faciles. Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est forcément vouée à l'échec. À l'opposé, passer du temps pour réussir à traiter correctement des questions plus difficiles permet de s'assurer un nombre de points suffisants pour atteindre une note supérieure à la barre d'admissibilité. »
Utiliser la formule du crible de Poincaré (hors programme MP) en Q3b sans la démontrer-2 pts
« Certains ont répondu à cette question en utilisant « la formule de crible de Poincaré » qui est hors programme en filière MP. On pouvait l'appliquer donc à condition de l'avoir démontrée au préalable. Taux de réussite : moins de 3%. »
Traiter les événements {p_k^n | X} et {p_k^{n+1} ∤ X} comme indépendants (Q3a)-2 pts
« Une des erreurs rencontrées consistait à traiter les événements {p_k^n|X} et {p_k^{n+1} ∤ X} comme des événements indépendants, ce qui n'est pas le cas. »
Phrases du type « ... et à partir de là il est facile de voir que ... » alors que le point délicat reste à traiter-1 pts
« les phrases du type « …et à partir de là il est facile de voir que… » alors que justement, le point délicat reste à traiter, n'apportent pas de points. Il est inutile de compter sur un manque de vigilance de la part du correcteur. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
- Partie I, Loi zêta sur ℕ* et produit eulérien (Q1-Q9 · moyen-dur)
- Partie II, Produit de Weierstrass de sin(πx) (Q10-Q11 · dur)
- Partie III, Fonction Γ via produit infini, log-convexité, identité de réflexion (Q12-Q17 · tres-dur)
- Partie IV, Valeurs β(2k+1) via nombres d'Euler (Q18-Q19 · tres-dur)
Conseils du jury
Pièges sanctionnés par le rapport
- Utiliser la définition intégrale Γ(x) = ∫t^{x-1}e^{-t}dt alors que l'énoncé définit Γ par un produit infini : « Notons une démarche qui a porté un grand préjudice à un bon nombre de candidats. Bien que la fonction Γ puisse être définie par la formule intégrale Γ(x) = ∫₀^{+∞} t^{x-1}e^{-t} dt, x > 0, ce n'est pas le choix fait dans l'énoncé. En effet, ici la fonction Γ est définie à partir ... »
- Survoler le sujet à grappiller plutôt que de traiter correctement plusieurs questions consécutives : « Comme chaque année, il est préférable de traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties en tentant de "grappiller" des points sur les questions les plus faciles. Le barème est... »
- Utiliser la formule du crible de Poincaré (hors programme MP) en Q3b sans la démontrer : « Certains ont répondu à cette question en utilisant « la formule de crible de Poincaré » qui est hors programme en filière MP. On pouvait l'appliquer donc à condition de l'avoir démontrée au préalable. Taux de réussite : moins de 3%. »
- Traiter les événements {p_k^n | X} et {p_k^{n+1} ∤ X} comme indépendants (Q3a) : « Une des erreurs rencontrées consistait à traiter les événements {p_k^n|X} et {p_k^{n+1} ∤ X} comme des événements indépendants, ce qui n'est pas le cas. »
- Phrases du type « ... et à partir de là il est facile de voir que ... » alors que le point délicat reste à traiter : « les phrases du type « …et à partir de là il est facile de voir que… » alors que justement, le point délicat reste à traiter, n'apportent pas de points. Il est inutile de compter sur un manque de vigilance de la part du correcteur. »
Ressources
Téléchargements
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