Annales sur Réduction des endomorphismes, matrices de rang 1

Réduction des endomorphismes

Au programme

La réduction des endomorphismes est qualifiée de « chapitre roi de la spé » par le programme officiel. Elle couvre les valeurs propres et vecteurs propres, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, le lemme des noyaux, le théorème de Cayley-Hamilton, la diagonalisation et la trigonalisation. Démonstrations exigibles : lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton, caractérisation de la diagonalisabilité. Programme commun MP, PC, PSI.

Pourquoi c'est testé

59 sujets de concours dans notre base portent sur la réduction. C'est l'un des chapitres les plus testés aux Mines-Ponts MP/PSI et à CCINP. Les pièges récurrents pointés par les jurys :

• Projecteur orthogonal confondu avec endomorphisme orthogonal (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2014 : « L'erreur de compréhension principale pour ce sujet a été de confondre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal, le seul endomorphisme vérifiant ces deux propriétés étant bien sûr l'identité »)
• Diagonalisable confondu avec orthodiagonalisable (jury Maths 1 Mines-Ponts PSI 2014 : « Beaucoup de candidats se sont contentés d'indiquer que T était diagonalisable, alors qu'il était nécessaire d'avoir des vecteurs propres orthogonaux »)
• Polynôme minimal mal connu (jury Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 : « Non, il n'est pas toujours à racines simples. Non, il ne comporte pas d'autres racines que les valeurs propres. Non, le polynôme minimal d'un produit de matrices n'est pas le produit de leurs polynômes minimaux »)
• Polynôme annulateur confondu avec polynôme caractéristique (jury Maths CCINP PSI 2022 : « une partie non négligeable ne sait pas caractériser une matrice de rang 1 et beaucoup confondent un polynôme annulateur avec le polynôme caractéristique »)

Comment réviser

Trois axes priorisés :

1. Maîtriser les critères de diagonalisabilité : polynôme minimal scindé à racines simples, ou somme des dimensions des sous-espaces propres = dimension totale. 2. Distinguer trois polynômes : annulateur (existe pour tout endomorphisme), caractéristique (degré n), minimal (unitaire, divise les autres). 3. Travailler les sujets de référence : Maths 1 Mines-Ponts PSI 2014 (projecteurs et orthogonalité), Maths 2 Mines-Ponts MP 2018 (polynôme minimal), Maths CCINP PSI 2022.