Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le thème du problème était un théorème de stabilité de Liapounov. Sujet commun aux filières MP et MPI, il permettait d'aborder un nombre significatif de parties du programme : topologie, algèbre linéaire et calcul différentiel. Problème de longueur raisonnable, peut-être un peu long pour 3 heures — mais un candidat l'a traité quasiment en totalité. Le sujet était progressif et a permis de classer correctement les candidats.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires de cours et outils d'algèbre(Q1-Q3)Abordable
Q1 question de cours assez correctement traitée mais avec des justifications un peu insuffisantes. Q2 — il manquait souvent une condition (note 0 dans ce cas). Q3 — erreur classique de croire que la norme euclidienne est sous-multiplicative (faux).
- Partie II — Réduction et sous-espaces caractéristiques(Q4-Q9)Niveau attendu
Q4 demandait quatre arguments (polynôme caractéristique scindé sur ℂⁿ, facteurs premiers entre eux, Cayley-Hamilton, décomposition des noyaux). Q5-Q8 sur les sous-espaces caractéristiques, avec confusions fréquentes entre sous-espaces caractéristiques et propres.
- Partie III — Exponentielle de matrice et dimension finie(Q10-Q13)Difficile
Q10 rarement traitée parfaitement (||idEi|| = 1 souvent omis). Q12 — il fallait insister sur la dimension finie (les résultats utilisés ne sont pas vrais en dimension infinie). Q13 — résultat de cours sur les solutions du système différentiel souvent mal énoncé.
- Partie IV — Produit scalaire généralisé et fin du sujet(Q14-Q20)Très difficile
Q15 — démontrer qu'une intégrale généralisée définit bien un produit scalaire (continuité, bilinéarité, symétrie, positivité, défini-positif). Les Q17-Q20 portent sur le calcul différentiel — partie très peu abordée, le barème valorisait les seize premières questions.
Analyse globale du jury
« Les correcteurs ont observé une dégradation de la présentation des copies. L'interdiction des effaceurs ne justifie pas les torchons : le brouillon est fourni par le concours. Les encres pâles passent mal à la numérisation. Si le correcteur n'arrive pas à lire — parce que l'encre est trop pâle, parce que l'écriture est indéchiffrable ou parce que les fragments de la démonstration sont noyés dans des ratures — il mettra zéro à la question. On ne met pas des points au bénéfice du doute. Conseil : rédiger soigneusement les questions de début de problème, écrire en noir, éviter l'excès de ratures. Une bonne méthode : commencer au brouillon jusqu'à être convaincu d'avoir compris la démarche, puis rédiger directement. »
Top pièges sanctionnés
Norme euclidienne supposée sous-multiplicative (Q3) — FAUX-2 pts
« L'erreur de base à la question suivante consistait à croire que la norme euclidienne est sous-multiplicative, ce qui n'est pas le cas. »
« Par récurrence immédiate » ou « par itération » sans rédiger-2 pts
« Pour la dernière partie de la question, on demandait une démonstration par récurrence complète, les « par une récurrence immédiate » et autres « par itération » ne rapportaient aucun point. »
Dimension finie omise dans l'argumentation (Q12)-1 pts
« Pour la question douze, il fallait à nouveau insister sur la dimension finie, les résultats utilisés n'étant pas vrais en dimension infinie. »
Définition de produit scalaire incomplète (Q15)-2 pts
« Un produit scalaire étant une application, il doit être défini pour tout couple de vecteurs de l'espace, et quand il est défini par une intégrale généralisée, il faut donc démontrer que cette intégrale est convergente. »
Grapillage de questions techniques sans cohérence-3 pts
« Les grapilleurs, qui sautaient de nombreuses questions pour s'essayer aux questions entre dix-sept et vingt mais ne récoltaient en général que très peu de points. Le grapillage paye rarement, et en particulier, sur ce problème il ne payait rien du tout. »
Encres pâles et copies illisibles — note 0 systématique-3 pts
« Si le correcteur n'arrive pas à lire, parce que l'encre est trop pâle, parce que l'écriture est indéchiffrable ou parce que les fragments de la démonstration sont noyés dans des ratures, il mettra zéro à la question. On ne met pas des points au bénéfice du doute. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2023 · PDF officiel ↗
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