Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.49
Médiane
8.8
Écart-type
3.57
Q1 (25%)
6.7
Q3 (75%)
11.7
Candidats présents
3 473
sur 3 670 inscrits · 5.4% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet traite de la réduction de sous-algèbres de L(E), où E est un R- ou C-espace vectoriel de dimension finie, c'est-à-dire de la co-diagonalisation ou de la co-trigonalisation des éléments d'une sous-algèbre de L(E) (ou de M_n(K), en adoptant un point de vue matriciel). La notion de sous-algèbre est définie en introduction et la partie I propose de s'approprier cette notion au travers d'exemples (matrices symétriques, antisymétriques, triangulaires en section I-A, algèbre des endomorphisme…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Exemples de sous-algèbres(Q1-Q9)Niveau attendu
I.A — Exemples de sous-algèbres de M_n(K) (T_n(K), T_n^+(K), S_n(K), A_n(K)). I.B — Exemples de sous-algèbres de L(E) (A_F endomorphismes stabilisant F, dim A_F = n²-pn+p², maximisation). I.C — Algèbres Γ(R), Γ(C) (sous-algèbre commutative diagonalisable).
- Partie II — Partie II — Une sous-algèbre commutative de M_n(R) (matrices circulantes)(Q10-Q22)Difficile
Matrices circulantes, base (I_n, J, ..., J^{n-1}), polynôme caractéristique X^n - 1, racines n-ièmes de l'unité, espaces propres, cas n=2 vs n≥3.
- Partie III — Partie III — Sous-algèbres strictes de M_n(R) de dimension maximale(Q23-Q29)Très difficile
Produit scalaire canonique (tr(A^T A) = Σ a_{i,j}²), notion d'algèbre transposée, supplémentaire orthogonal, dimension maximale.
- Partie IV — Partie IV — Réduction d'une algèbre nilpotente de M_n(C)(Q30-Q35)Très difficile
Sous-algèbre constituée d'éléments nilpotents, récurrence forte sur la dimension de E, contraposée du théorème de Burnside.
- Partie V — Partie V — Le théorème de Burnside(Q36-Q40)Très difficile
Démonstration du théorème de Burnside (Q36-Q40), questions très difficiles, peu traitées.
Analyse globale du jury
« Sur les 3473 copies corrigées, la moyenne constatée, en pourcentage du barème, est de 24,4%, pour un écart-type de 14,7%. Le sujet peut donc être considéré comme long, mais il a permis une bonne discrimination parmi les candidats. Comme nous le verrons plus loin, la sélection des meilleurs candidats s'est essentiellement faite sur le soin apporté aux réponses, bien plus que sur le volume traité. La meilleure copie a obtenu un total de 82% des points du barème total. Les parties I à III ont été abordées par la quasi-totalité des candidats (plus de 95% d'entre eux), tandis que les parties IV (environ 60%) et V (environ 25%) l'ont moins été, principalement en raison de leur plus grande difficulté relative. Les parties I à III représentent environ 72% des points du barème. Le soin mis à trait… »
Top pièges sanctionnés
Réponse en une ligne sans justification (Q1)-2 pts
« Une réponse en une ligne donnant directement le résultat (attendu ou non), sans un minimum de contextualisation, est toujours mal perçue, souvent sanctionnée. Par exemple, en question Q1, il n'a malheureusement pas été rare de lire « T_n(K) est clairement une sous-algèbre de M_n(K) » ou « par un raisonnement similaire, T_n^+(K) est une sous-algèbre de M_n(K) ». »
Variables non déclarées-1 pts
« Il n'a pas été rare de voir apparaitre des A, B, x, y, α, β au milieu d'un raisonnement sans en avoir vu la déclaration au préalable, laissant au lecteur le soin de comprendre dans quel ensemble ces variables se trouvent. C'est parfois très malvenu, puisque le sujet s'autorise quelques aller-retours entre R et C qui peuvent créer de fortes confusions. »
Vocabulaire « clairement », « trivialement »-1 pts
« Le jury recommande aux candidats une posture d'humilité, notamment de bannir de leur rédaction des mots comme « clairement », « trivialement », « évidemment » et la fameuse « récurrence triviale ». Ceux-ci n'apportent rien au contenu mathématique de la copie et ne peuvent jouer qu'en défaveur du candidat, surtout lorsqu'ils sont suivis d'erreurs manifestes. »
Contre-exemples avec paramètres trop choisis (Q2, Q3, Q8)-2 pts
« Les candidats préfèrent laisser des réponses impliquant des paramètres qui, s'ils sont bien choisis, ne constituent plus un contre-exemple à l'affirmation étudiée. Par exemple, à la question demandant si S_2(K) est une sous-algèbre de M_2(K), la majorité des candidats introduisent deux matrices (a b)(b c) et (a' b')(b' c'), effectuent le produit matriciel et en déduisent : « puisque ab' + bc' ≠ ba' + cb', alors le produit n'est pas une matrice symétrique », ce qui est faux, si on particularise les coefficients de ces deux matrices. »
Quantificateurs ∀∃ confondus (Q3)-2 pts
« Les confusions sur l'ordre des quantificateurs (∀, ∃) dans une proposition mathématique, ont malheureusement été très répandues. Citons par exemple, à la question Q3, ces nombreux candidats qui ont souhaité démontrer que pour tous A, B ∈ S_n(K), on a AB ∉ S_n(K), alors qu'il suffit de montrer qu'il existe A, B ∈ S_n(K) tels que AB ∉ S_n(K). »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2019 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
