Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.28
Médiane
8.7
Écart-type
3.56
Q1 (25%)
6.7
Q3 (75%)
11.5
Candidats présents
3 414
sur 3 670 inscrits · 7.0% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet propose de démontrer des résultats classiques sur les valeurs de la fonction ζ aux entiers pairs et ses liens avec le développement en série entière de la fonction tangente. La question Q30 donne un résultat complet sur les ζ(2n) — les ζ(2n+1) étant encore aujourd'hui le sujet de nombreuses conjectures. Enfin, une relation avec un problème de dénombrement (suites alternantes d'entiers distincts) donne l'occasion de calculer des probabilités. De nombreuses parties importantes du program…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Introduction d'une fonction auxiliaire(Q1-Q15)Difficile
I.A — Dérivées successives de f(x) = (sin x + 1)/cos x. Suite de polynômes (P_n) à coefficients positifs ou nuls, formule de Leibniz. I.B — Développement en série entière (Taylor avec reste intégral, série Σ α_n/n! x^n, théorème de Cauchy non linéaire, conditions initiales). I.C — Partie paire/impa…
- Partie II — Partie II — Équivalent de α_{2n+1}(Q16-Q31)Très difficile
II.A — La fonction zêta (continuité, séries de fonctions, convergence uniforme sur tout segment, Wallis, intégrations par parties). II.B — Formule pour cosinus (intégrales de Wallis, télescopage, calcul de I_0(x)). II.C — Autre développement de tangente (intersaction somme-limite, télescopage). II.…
- Partie III — Partie III — Permutations alternantes(Q32-Q36)Très difficile
III.A — Dénombrement des permutations alternantes (4 pour n=4, transformation a_i → n-a_i+1, réindexation, récurrence forte). III.B — Permutations aléatoires (questions peu abordées).
Analyse globale du jury
« Si on ne discerne pas de lacune particulière dans la formation des candidats, il reste que certains points apparaissent mal maitrisés dès lors qu'il faut s'écarter des applications les plus communes. Beaucoup d'erreurs semblent simplement provenir d'un défaut de pratique de certains aspects : erreurs dans la manipulation des indices ou des variables, bornes des domaines de définition ou de validité des formules, calculs algébriques sur les fonctions trigonométriques. C'est surtout dans ce qu'on appelle « la forme » que des progrès importants restent à faire. Trop de candidats répondent aux questions par une série d'égalités sans autre commentaire qu'une phrase de conclusion. Il est au contraire essentiel de justifier chaque étape d'une démonstration par un bref appel aux résultats du cour… »
Top pièges sanctionnés
Polynômes en sin x non passés en X (Q2)-1 pts
« Confusion fréquente entre P(sin x) et P × sin x. On remarque une maladresse à passer de polynômes en sin x à des polynômes en X. »
Récurrence sans coefficients explicites (Q3)-1 pts
« Très peu de justifications que les coefficients sont positifs ou nuls, ce qui demandait un calcul explicite des coefficients. »
Formule de Taylor avec reste intégral mal sue (Q6)-2 pts
« Beaucoup d'erreurs dans la formule de Taylor avec reste intégral. Certains utilisent la positivité de f^{(n)} invoquant le fait que P_n est à coefficients strictement positifs, même s'ils ont négligé ce point auparavant. »
Conditions initiales oubliées (Q9)-1 pts
« Ne pas oublier de considérer les conditions initiales. Notons que le théorème de Cauchy linéaire (le seul au programme) ne s'applique pas ici (y' = F(y) avec F non linéaire). »
Démonstration par calcul seul, pas d'analogie (Q15)-1 pts
« Ici il est important d'expliquer ce que l'on fait, calculer ne suffit pas. Un raisonnement expéditif « par analogie avec Q5 » n'était certes pas suffisant, mais il était bienvenu d'alléger les calculs en expliquant la similarité avec ceux de Q5. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2019 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
