Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
10.08
Médiane
9.6
Écart-type
3.55
Q1 (25%)
7.4
Q3 (75%)
12.4
Candidats présents
3 442
sur 3 630 inscrits · 5.2% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en quatre parties largement indépendantes étudiant l'équation de diffusion ∂f/∂t (t,x) = ∂²f/∂x² (t,x). Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long d'une barre métallique unidimensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une espèce chimique (par exemple un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des x). Partie I : démonstration de quelques résultats sur la transformée de Fourier d'une fonction continue et intégrable su…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Préliminaires (transformée de Fourier)(Q1-Q12)Difficile
I.A — Propriétés de g_σ (intégrabilité, valeur, variations, dérivée seconde). I.B — Transformée de Fourier d'une fonction continue intégrable (continuité, intégrabilité de f(x)exp(-i2πξx)). I.C — Dérivabilité (f tend vers 0 en ±∞, F(f') = i2πξ F(f)). I.D — Calcul de F(g_σ) (intégration par parties,…
- Partie II — Partie II — Équation de diffusion avec une condition initiale gaussienne(Q13-Q24)Très difficile
Convergence dominée, théorème de Leibniz, dérivée seconde spatiale, équation différentielle linéaire (constante K(ξ) complexe), linéarité de la transformée de Fourier (μ = σ'√(2π), λ_{t,σ} = 1).
- Partie III — Partie III — Étude numérique (schéma de discrétisation)(Q25-Q34)Très difficile
Développement de Taylor (ne pas concluire par récurrence), matrice A symétrique réelle (théorème spectral), A^n = P^{-1} D^n P, conditions nécessaires et suffisantes, valeur de θ ∈ [0,π] avec 2 cos θ = λ, équations trigonométriques (Euler, Moivre).
- Partie IV — Partie IV — Équation de diffusion et marche aléatoire(Q35-Q41)Difficile
Programme de PCSI : loi de Bernoulli, loi binomiale (indépendance), Z_n et S_n, formule de Pascal vs probabilités totales.
Analyse globale du jury
« La problématique du sujet est au cœur des préoccupations de la classe de PC et l'approche par différents thèmes (transformée de Fourier, discrétisation, marche aléatoire) devait permettre aux candidats de réinvestir les résultats du cours et de construire des raisonnements. Le premier constat concerne une accentuation de l'hétérogénéité des niveaux, et un fort étalement des notes. On trouve de nombreuses très bonnes copies de candidats qui ont bien compris ce que l'on attend d'eux, à savoir une argumentation serrée, une mise en œuvre des schémas de raisonnements standards, une rédaction soignée, et surtout qui ont bien compris les notions sous-jacentes. À l'opposé on trouve un trop grand nombre de candidats de très faible niveau avec de très grosses lacunes et un manque de savoir-faire su… »
Top pièges sanctionnés
Intégrabilité confondue avec convergence vers 0 en ±∞ (Q1)-2 pts
« Cette question a donné lieu à des réponses surprenantes concernant la notion d'intégrabilité. On rencontre plus souvent que les années précédentes des erreurs graves : si la fonction converge vers 0 en +∞, ou y admet une limite finie, alors l'intégrale est « faussement impropre en +∞ » ; une fonction bornée comme par exemple x ↦ exp(ix) est intégrable sur R ; le produit de deux fonctions intégrables est intégrable. »
Limite à l'infini ⇒ intégrabilité de f' (Q6)-2 pts
« Cependant, la plupart des candidats pensent que l'existence d'une limite nulle en +∞ est une condition suffisante d'intégrabilité, ce qui clôt le débat (la confusion avec la condition nécessaire de convergence pour les séries est très fréquente). »
Module non utilisé pour fonction complexe (Q4)-1 pts
« Le fait que la fonction f soit à valeurs complexes a posé des soucis pour la domination de f(x)exp(-i2πξx) : beaucoup de candidats reviennent à la partie réelle et la partie imaginaire, sans doute par peur d'utiliser le module, ce qui alourdit le raisonnement. »
Convergence uniforme sur R d'une série entière (Q11)-2 pts
« Peu de candidats ont vu que l'intégrale de la partie imaginaire était nulle. La plupart des candidats voient qu'il s'agit d'une intégration terme à terme mais rédigent très mal : on omet de signaler la convergence de la série des intégrales des modules, ou on laisse apparaitre un (-1)^p dans cette série. On parle de temps en temps de convergence uniforme sur R en lien avec le rayon de convergence infini de la série entière ! »
Vérification des constantes non simplifiées (Q13)-1 pts
« Certains candidats, peu nombreux, pensent à exploiter le résultat de la question 4 pour calculer ∂²f/∂x²(t,x). Il ne faut pas attendre du correcteur qu'il fasse lui-même les simplifications de constantes pour vérifier l'égalité car en effet les réponses non simplifiées ont été légion. Certains concluent même qu'il y a égalité alors que ce n'est pas le cas à l'issue de leurs calculs. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2018 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
