Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.20
Médiane
9.2
Écart-type
4.09
Q1 (25%)
6.3
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 570
sur 3 729 inscrits · 4.3% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème introduit la notion de produit infini et l'utilise pour obtenir divers résultats. Cinq parties : (I) résultats préliminaires aboutissant à lim (1+z/n)^n = e^z avec z complexe ; (II) calculs classiques de produits infinis (Wallis, Borel-Cantelli) ; (III) propriétés de convergence et dérivabilité de fonctions définies par produits infinis Π(1+f_n(x)) sous hypothèses de convergence uniforme des séries Σ|f_n| et Σ f'_n/(1+f_n) ; (IV) égalité sin(x) = x · Π(1 - x²/(jπ)²), calcul de Σ 1/n…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Résultats préliminaires(Q1-Q6)Difficile
Inégalités sur produits Π(1+x_k), inégalité |a^n - b^n| ≤ nM^{n-1}|a-b|, convergence (1+z/n)^n → e^z avec z ∈ C.
- Partie II — Partie II — Exemples de calcul de produit infini(Q7-Q11)Difficile
II.A — Produits télescopiques. II.B — Intégrales de Wallis W_n = ∫(cos u)^n du, formule pour W_{2n+1}, équivalent. II.C — Lemme de Borel-Cantelli (probabilités).
- Partie III — Partie III — Étude d'une fonction définie par un produit infini(Q12-Q19)Très difficile
III.A — Continuité et caractère C¹ d'une fonction définie par un produit infini sous hypothèses de convergence uniforme. III.B — Application. III.C — Dérivée logarithmique.
- Partie IV — Partie IV — Expression de la fonction sinus comme produit infini(Q20-Q31)Très difficile
IV.A — Polynôme caractéristique, racines symétriques. IV.B et IV.C — Théorème de la double limite (Q29), applications. Calcul de Σ 1/n² via dérivée logarithmique.
- Partie V — Partie V — Autour de la fonction Γ(Q32-Q38)Très difficile
V.A — Domination, dérivation sous l'intégrale, suite de fonctions avec indicatrice. V.B — Encadrement de la somme harmonique, formule Γ(x) = e^{-γx}/x · Π e^{x/n}(1+x/n)^{-1}.
Analyse globale du jury
« S'agissant d'un sujet difficile dès les premières questions, seule une grosse dizaine de questions ont été traitées par une majorité d'étudiants, d'autres notamment la sous-partie IVB ne sont quasiment pas abordées. Globalement, on peut regretter un gros manque de rigueur dans un grand nombre de copies. En particulier, les récurrences sont globalement mal rédigées, aussi bien dans l'énoncé initial de la proposition que dans la phase d'hérédité, sans parler de la phrase de conclusion, inexistante dans la plupart des copies. De même les inégalités de base ne sont apparemment pas bien assimilées. La difficulté du sujet a dès lors produit des copies moins longues qu'à l'accoutumée, minorant certains défauts relevés les années précédentes. »
Top pièges sanctionnés
Inégalité triangulaire mal maîtrisée — formules type |a-b| ≤ |a| - |b| (Q1)-2 pts
« Seulement 10% de réussite, ce qui est rare pour une première question. Une récurrence est possible, de même que tranformer le produit en somme, mais les deux méthodes demandent du soin. On voit hélas plus souvent des formules du type |a-b| ⩽ |a| - |b|. »
Formule a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + ... + b^{n-1}) trop rarement évoquée (Q4)-1 pts
« La formule algébrique a^n - b^n = (a-b)·(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1}) est trop rarement évoquée, comme si le problème devait ne comporter que des considérations d'analyse. »
Équivalents abusifs — (n+1)^{n+1} ∼ n^{n+1} (Q9)-2 pts
« On voit beaucoup de (n+1)^{n+1} ∼ n^{n+1} (comme conséquence de n+1 ∼ n) sans voir la contradiction avec la question 6. »
Convergence uniforme mal comprise — confusion fonction / suite de fonctions (Q14, Q19)-2 pts
« Une question souvent mal faite et mal comprise. La convergence uniforme est une notion qui pose de grandes difficultés. […] La confusion entre ce qui s'applique à une fonction et à une suite de fonctions est fréquente. »
P continue comme produit de fonctions continues (Q15)-1 pts
« On voit trop souvent l'argument que P est continue comme produit de fonctions continues. Repasser au logarithme semble ici contre-intuitif et de fait presqu'aucune copie ne montre que P ne s'annule pas. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2024 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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