Top piège du sujet
Inégalité triangulaire mal maîtrisée, formules type |a-b| ≤ |a| - |b| (Q1)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.20
Médiane
9.2
Écart-type
4.09
Q1 (25%)
6.3
Q3 (75%)
12.0
Candidats présents
3 570
sur 3 729 inscrits · 4.3% d'absents
Comparaison
Comment ce sujet se compare aux autres
Moyenne stable par rapport à 2023 (9.2 vs 9.29). Écart-type stable (σ=4.09). Difficulté globale comparable à la session précédente.
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème introduit la notion de produit infini et l'utilise pour obtenir divers résultats. Cinq parties : (I) résultats préliminaires aboutissant à lim (1+z/n)^n = e^z avec z complexe ; (II) calculs classiques de produits infinis (Wallis, Borel-Cantelli) ; (III) propriétés de convergence et dérivabilité de fonctions définies par produits infinis Π(1+f_n(x)) sous hypothèses de convergence uniforme des séries Σ|f_n| et Σ f'_n/(1+f_n) ; (IV) égalité sin(x) = x · Π(1 - x²/(jπ)²), calcul de Σ 1/n…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Résultats préliminaires(Q1-Q6)Difficile
Inégalités sur produits Π(1+x_k), inégalité |a^n - b^n| ≤ nM^{n-1}|a-b|, convergence (1+z/n)^n → e^z avec z ∈ C.
- Partie II — Partie II, Exemples de calcul de produit infini(Q7-Q11)Difficile
II.A, Produits télescopiques. II.B, Intégrales de Wallis W_n = ∫(cos u)^n du, formule pour W_{2n+1}, équivalent. II.C, Lemme de Borel-Cantelli (probabilités).
- Partie III — Partie III, Étude d'une fonction définie par un produit infini(Q12-Q19)Très difficile
III.A, Continuité et caractère C¹ d'une fonction définie par un produit infini sous hypothèses de convergence uniforme. III.B, Application. III.C, Dérivée logarithmique.
- Partie IV — Partie IV, Expression de la fonction sinus comme produit infini(Q20-Q31)Très difficile
IV.A, Polynôme caractéristique, racines symétriques. IV.B et IV.C, Théorème de la double limite (Q29), applications. Calcul de Σ 1/n² via dérivée logarithmique.
- Partie V — Partie V, Autour de la fonction Γ(Q32-Q38)Très difficile
V.A, Domination, dérivation sous l'intégrale, suite de fonctions avec indicatrice. V.B, Encadrement de la somme harmonique, formule Γ(x) = e^{-γx}/x · Π e^{x/n}(1+x/n)^{-1}.
Analyse globale du jury
« S'agissant d'un sujet difficile dès les premières questions, seule une grosse dizaine de questions ont été traitées par une majorité d'étudiants, d'autres notamment la sous-partie IVB ne sont quasiment pas abordées. Globalement, on peut regretter un gros manque de rigueur dans un grand nombre de copies. En particulier, les récurrences sont globalement mal rédigées, aussi bien dans l'énoncé initial de la proposition que dans la phase d'hérédité, sans parler de la phrase de conclusion, inexistante dans la plupart des copies. De même les inégalités de base ne sont apparemment pas bien assimilées. La difficulté du sujet a dès lors produit des copies moins longues qu'à l'accoutumée, minorant certains défauts relevés les années précédentes. »
Top pièges sanctionnés
Inégalité triangulaire mal maîtrisée, formules type |a-b| ≤ |a| - |b| (Q1)-2 pts
« Seulement 10% de réussite, ce qui est rare pour une première question. Une récurrence est possible, de même que tranformer le produit en somme, mais les deux méthodes demandent du soin. On voit hélas plus souvent des formules du type |a-b| ⩽ |a| - |b|. »
Formule a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + ... + b^{n-1}) trop rarement évoquée (Q4)-1 pts
« La formule algébrique a^n - b^n = (a-b)·(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1}) est trop rarement évoquée, comme si le problème devait ne comporter que des considérations d'analyse. »
Équivalents abusifs, (n+1)^{n+1} ∼ n^{n+1} (Q9)-2 pts
« On voit beaucoup de (n+1)^{n+1} ∼ n^{n+1} (comme conséquence de n+1 ∼ n) sans voir la contradiction avec la question 6. »
Convergence uniforme mal comprise, confusion fonction / suite de fonctions (Q14, Q19)-2 pts
« Une question souvent mal faite et mal comprise. La convergence uniforme est une notion qui pose de grandes difficultés. […] La confusion entre ce qui s'applique à une fonction et à une suite de fonctions est fréquente. »
P continue comme produit de fonctions continues (Q15)-1 pts
« On voit trop souvent l'argument que P est continue comme produit de fonctions continues. Repasser au logarithme semble ici contre-intuitif et de fait presqu'aucune copie ne montre que P ne s'annule pas. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Centrale-Supélec · Maths PC, session 2024 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Maths II Centrale-Supélec PC 2024 s'est déroulée fin avril 2024, en 4h, coefficient 15. Sujet commun aux filières PC et PSI, quelques questions optionnelles spécifiques.
Sujet sur Produits infinis et fonction Γ. Le problème introduit la notion de produit infini et l'utilise pour obtenir divers résultats. Cinq parties : (I) résultats préliminaires aboutissant à lim (1+z/n)^n = e^z avec z complexe ; (II) calculs classiques de produits infinis (Wallis, Borel-Cantelli) ; (III) propriétés de convergence et dérivabilité de fonctions définies par produits infinis Π(1+f_n(x)) sous hypothèses de convergence unifo…
La moyenne brute s'est établie à 9.2/20, écart-type 4.09. Médiane 9.2, premier quartile 6.3, troisième quartile 12.0. 3570 candidats présents pour 3729 inscrits (4.3 % d'absents). L'écart Q1–Q3 est de 5.7 points, ce qui rend l'épreuve très exigeant et discriminante.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
S'agissant d'un sujet difficile dès les premières questions, seule une grosse dizaine de questions ont été traitées par une majorité d'étudiants, d'autres notamment la sous-partie IVB ne sont quasiment pas abordées. Globalement, on peut regretter un gros manque de rigueur dans un grand nombre de copies. En particulier, les récurrences sont globalement mal rédigées, aussi bien dans l'énoncé initial de la proposition que dans la phase d'hérédité, sans parler de la phrase de conclusion, inexistant…
Si tu vises 9.2-12.0/20 (médiane à top 25 %)
Concentre-toi sur les premières parties du sujet (préliminaires, étude d'exemples, applications directes du cours). Ce sont les points faciles. Soigne particulièrement les vérifications d'hypothèses, c'est là que le jury Centrale PC sanctionne le plus les copies moyennes.
Si tu vises 12.0+/20 (top 10 %)
Il faut aborder les parties techniques de fin de sujet, même partiellement. Une question difficile bien rédigée vaut plusieurs questions classiques bâclées. Travaille la justification des hypothèses (domination, intégrabilité, indépendance) avec rigueur explicite.
Gestion des 4h : alloue 1h sur la partie I (questions de cours et applications), 1h-1h15 sur la partie II (calculs principaux), 1h-1h15 sur les parties suivantes, et garde 15-20 min de relecture. Privilégie la qualité sur la quantité, Centrale PC applique des malus systématiques sur les copies illisibles ou mal organisées.
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Soigner la présentation et la rédaction : le jury Centrale PC applique systématiquement un malus sur les copies illisibles, raturées ou avec des abréviations inintelligibles.
- Vérifier explicitement les hypothèses des théorèmes : convergence dominée, théorème spectral, théorèmes d'intégrales à paramètres : citer le théorème ne dispense jamais de vérifier ses hypothèses.
- Contrôler l'homogénéité et les ordres de grandeur : c'est gratuit et permet de détecter la majorité des erreurs algébriques avant qu'elles ne se propagent.
- Lire le sujet en entier avant de commencer : comprendre le fil conducteur permet d'identifier où sont les points faciles et d'éviter de bloquer sur des questions techniques en milieu de sujet.
- Ne pas négliger les questions ouvertes ou de programmation : souvent >10 % du barème, peu traitées par les candidats, c'est un fort différenciateur pour viser le top 10 %.
Ressources
Téléchargements
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