Top piège du sujet
Limites non justifiées et exponentielle d'un équivalent (Q2)
Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.53
Médiane
9.5
Écart-type
4.30
Q1 (25%)
6.5
Q3 (75%)
13.0
Candidats présents
—
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Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'algèbre linéaire dans M_n(C) dont l'objectif est de montrer que toute matrice carrée à coefficients complexes s'écrit sous la forme A·e^A. Le problème porte sur une partie significative du programme d'algèbre linéaire et sur une partie du programme d'analyse, mobilisant les notions de limites, équivalents, rang, espaces propres et caractéristiques, endomorphismes nilpotents, matrices semblables, déterminants et polynôme caractéristique.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaire, équation z·e^z = w dans C(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 quasiment toujours bien faite. Q2 : limites non justifiées ou fausses, tentative typique = exponentielle d'un équivalent (interdit). Q3 bien traitée, sauf oubli massif du cas particulier z=0. Q4 résultat très classique mais rédaction imprécise.
- Partie II — Exponentielle de matrices, semblables vs équivalentes(Q5-Q7)Difficile
Q5 sélective : oubli de renverser l'ordre des termes de la base, confusion classique semblables/équivalentes. Q6 inversibilité OK matriciellement mais nilpotence demande la bonne méthode + justifier ordre n−1 strict.
- Partie III — Forme de Jordan d'une matrice nilpotente(Q8-Q11)Difficile
Q8 souvent sautée, rédaction très inégale. Q9 peu traitée. Q10 = jumelle de Q5 (même piège sur l'ordre des vecteurs de base). Q11 finalement assez facile et souvent bien traitée.
- Partie IV — Synthèse, résolution de A·e^A = M(Q12-Q16)Très difficile
Q12-Q13 « les plus difficiles du problème, les très bons candidats s'y sont illustrés ». Q14 récurrence souvent décevante (effet fatigue). Q15 égalité α_i = dim F_i rarement justifiée. Q16 synthèse, quelques candidats y parviennent.
Analyse globale du jury
« L'énoncé comprend de nombreuses questions accessibles aux élèves faibles et moyens. Un petit nombre d'excellents candidats ont presque tout fait, réalisant ainsi une très bonne performance. La longueur du problème est bien adaptée à l'épreuve. L'épreuve a permis de classer correctement les candidats par ordre de mérite. Moyenne générale 9,53 ; écart-type supérieur à 4,3, étalement très satisfaisant. »
Top pièges sanctionnés
Limites non justifiées et exponentielle d'un équivalent (Q2)-2 pts
« On trouve beaucoup d'erreurs : limites non justifiées, voire fausses, quand il y a une tentative de justification, elle consiste presque toujours à prendre l'exponentielle d'un équivalent. »
Oubli du cas particulier z=0 (Q3)-1 pts
« Cette question est en général bien traitée, sauf en ce qui concerne l'oubli massif du cas particulier z=0. »
Confusion semblables / équivalentes (Q5, Q10)-2 pts
« D'autres prétendent que deux matrices de même rang sont semblables, faisant la confusion classique entre semblables et équivalentes. »
Ordre de nilpotence ≤ n−1 au lieu de = n−1 (Q6)-2 pts
« Il reste deux difficultés : penser à montrer que l'ordre de nilpotence est n−1 et non pas seulement inférieur ou égal à n−1, puis utiliser l'inversibilité des matrices et pas simplement qu'elles sont non nulles, le produit de deux matrices pouvant être nul sans que l'une ou l'autre le soit. »
Récurrence Q14 baclée par fatigue-1 pts
« La rédaction de la récurrence est souvent très décevante, mais cela est sans doute dû à la fatigue. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2014 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2014
L'épreuve Maths I Mines-Ponts MP 2014 s'est déroulée fin avril 2014, durée 3h, coefficient 4. Concours commun Mines-Ponts qui ouvre 10 écoles d'ingénieur (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Sujet d'algèbre linéaire dans M_n(C) dont le but est de démontrer que toute matrice carrée à coefficients complexes s'écrit sous la forme A·e^A. Le problème articule analyse (équation z·e^z = w dans C, limites et équivalents) et algèbre linéaire (rang, espaces propres et caractéristiques, endomorphismes nilpotents, matrices semblables, déterminants, polynôme caractéristique). La forme de Jordan d'une matrice nilpotente est un passage obligé.
Le jury qualifie la longueur de « bien adaptée à l'épreuve » et l'évaluation comme ayant « permis de classer correctement les candidats par ordre de mérite ». Statistiques officielles : moyenne 9,53, écart-type supérieur à 4,3 : épreuve très étalante.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Avec une moyenne de 9,53 et un écart-type > 4,3, ce sujet s'est révélé très étalant. Les questions accessibles (Q1, Q3, Q4, Q11) sont massivement traitées ; la difficulté monte en partie centrale (Q5-Q6 sélectives) puis explose en fin (Q12-Q13 réservées aux meilleurs). Le levier différenciant est la rigueur de rédaction, pas la quantité de questions abordées.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise Q1 (réciproque incluse), Q3 (cas z=0 traité explicitement), Q4 (rédaction précise du résultat classique), Q11 (« finalement assez facile »). Sur Q5 et Q10 : prends 30 secondes pour reformuler la différence semblables vs équivalentes avant de te lancer, la confusion est sanctionnée à coup sûr.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q6 : démontrer l'ordre de nilpotence = n−1 strict (pas ≤), via inversibilité (pas simplement « non nulle »). Q12-Q13 « les plus difficiles » : c'est là que les très bons candidats se sont illustrés. Q14 récurrence : ne pas la bâcler en fin d'épreuve. Q15 : justifier α_i = dim F_i, quasi jamais fait.
Gestion des 3h : ~45 min sur Q1-Q4 (préliminaires propres), 1h sur Q5-Q11 (cœur de la partie algèbre, c'est ici que se gagne la note), 1h sur Q12-Q16 (questions difficiles, viser ce qu'on maîtrise vraiment), 15 min relecture. Le jury insiste : « indiquer nettement qu'on admet un résultat pour la suite » et « chercher au brouillon avant de recopier au propre ».
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Lire tranquillement la totalité du sujet avant de commencer, pour assimiler les notations et comprendre de quoi il retourne.
- Pas d'exponentielle d'équivalent (Q2), limites non justifiées massivement sanctionnées. Justifier proprement chaque passage à la limite.
- Distinguer semblables vs équivalentes (Q5, Q10), deux matrices de même rang ne sont pas forcément semblables. Penser à renverser l'ordre des vecteurs de base quand demandé.
- Citer précisément les théorèmes du cours et les résultats antérieurs utilisés, avec les numéros de questions. Ne pas court-circuiter d'étape, le correcteur ne peut pas accorder de points sans certitude absolue.
- Indiquer nettement qu'on admet un résultat pour la suite quand on ne sait pas traiter une question, acte d'honnêteté très apprécié, contrairement à la dissimulation qui « peut être très pénalisante ».
- Soigner la copie : écrire lisiblement, encadrer les résultats. Toute illisibilité = zéro point.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ