Top piège du sujet
Diagonaliser V*∘V en dimension infinie (Q2)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sturm-Liouville : donner des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec conditions initiales portant sur y(a) et y'(b), a et b distincts (à la différence d'un problème de Cauchy). Le problème met en jeu de l'algèbre euclidienne, des équations différentielles, des probabilités, de la topologie et des séries de fonctions, ce qui assure une bonne couverture du programme MP.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Volterra et signe des valeurs propres(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 IBP propre avec hypothèses précisées. Q2 signe des valeurs propres source de nombreuses erreurs : certains prétendent diagonaliser V*∘V (alors que E est de dimension infinie). Q3 ne pas invoquer Cauchy (on est sur Sturm-Liouville). Q4 plutôt bien réussie mais réciproque souvent oubliée.
- Partie II — Partie probabilités, Bienaymé-Tchebychev et raisonnements par découpe(Q5-Q8)Difficile
Q5 loi de S_n trouvée mais espérance/variance via méthodes parfois lentes. Q6 Bienaymé-Tchebychev bien connue. Q7 très classante : un tiers environ des candidats vont au bout du raisonnement par découpe (rédaction expéditive sur la fin). Q8 récurrences précises, autres méthodes incomplètes.
- Partie III — Topologie et séries de fonctions(Q9-Q11)Très difficile
Q9 oubli de l'orthogonalité (suite « orthonormée »). Weierstrass forme trigonométrique : cas particulier rarement fait (pas une conséquence immédiate de Q8). Q10 très peu réussie : gestion de deux normes sur E. Q11 calculs interminables.
- Partie IV — Synthèse, facilité de Q13 et question ouverte Q16(Q12-Q16)Difficile
Q12 peu abordée (attrait pour Q13). Q13 « très facile » via Q4. Q14 sens direct facile, réciproque délicate (séparer rédactionnellement). Q15 peu trouvée (manque de temps). Q16 ouverte abordée par très peu, révélait la différence Cauchy/Sturm-Liouville.
Analyse globale du jury
« La première partie est tout à fait abordable et a bien différencié les candidats. Les difficultés allaient ensuite en croissant, avec une intervention de la topologie qui a été très sélective, traitée correctement par de très rares candidats. Quelques questions de fin pouvaient être résolues facilement en utilisant des résultats antérieurs, des élèves bien entraînés les ont abordées en sautant une grande partie du problème. L'épreuve a permis de classer correctement les candidats, surtout la première moitié d'entre eux. »
Top pièges sanctionnés
Diagonaliser V*∘V en dimension infinie (Q2)-2 pts
« Certains candidats prétendaient diagonaliser l'endomorphisme V*∘V et utilisaient des propriétés de sa matrice. Le problème, c'est que l'espace vectoriel E est de dimension infinie. »
Invoquer Cauchy pour un problème de Sturm-Liouville (Q3)-2 pts
« Il ne fallait surtout pas invoquer l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy, puisqu'on étudie un problème de Sturm-Liouville. »
Réciproque oubliée (Q4)-1 pts
« Question plutôt bien réussie, mais il manquait assez souvent la réciproque. »
Suite orthonormée sans vérifier l'orthogonalité (Q9)-2 pts
« On demandait de montrer qu'une suite était orthonormée, l'erreur principale a été, sur ce point, d'omettre de vérifier l'orthogonalité. »
Weierstrass déduit « immédiatement » de Q8 (Q9)-2 pts
« On trouvait la plupart du temps que c'était une conséquence immédiate de la question 8, ce qui ne donnait aucun point. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2015 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2015
L'épreuve Maths I Mines-Ponts MP 2015 s'est déroulée fin avril 2015, durée 3h, coefficient 4. Sujet commun aux concours Mines-Ponts, Cycle International, ENSTIM, Télécom INT et TPE-EIVP.
Sujet portant sur le problème de Sturm-Liouville : donner des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec conditions initiales portant sur y(a) et y'(b), a et b distincts, à la différence d'un problème de Cauchy. L'opérateur de Volterra V(f)(x) = ∫₀ˣ f(t)dt et son adjoint V* structurent la première partie ; V*∘V est démontré symétrique défini positif puis l'étude spectrale relie ses valeurs propres à y'' + (1/λ)y = 0.
Le jury salue une « bonne couverture du programme de mathématiques de la filière MP » : algèbre euclidienne, EDO, probabilités, topologie, séries de fonctions. Pas de statistiques publiées dans ce rapport. La première partie a bien différencié, la topologie a été « très sélective », et l'épreuve a permis de classer correctement « surtout la première moitié » des candidats.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet à difficulté progressive avec une partie I très différenciante et une topologie de fin très sélective. Le jury : « quelques questions pouvaient être résolues facilement en utilisant des résultats antérieurs, des élèves bien entraînés les ont abordées en sautant une grande partie du problème », autrement dit, lire l'énoncé jusqu'au bout reste rentable.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise Q1 (IBP avec hypothèses précisées), Q2 (signe des valeurs propres sans tomber dans le piège dimension finie), Q3 (ne pas invoquer Cauchy), Q4 (réciproque incluse), Q5-Q6 (loi de S_n + Bienaymé-Tchebychev). Saute la topologie en Q10-Q11 si fragile, va chercher Q13 (« très facile » via Q4), un saut stratégique récompensé.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q7 = ~1/3 des candidats au bout du raisonnement par découpe, point différenciant. Q9 : démontrer Weierstrass forme trigonométrique en redémontrant (pas en invoquant « conséquence immédiate de Q8 »). Q10 : gérer deux normes sur E sans confusion. Q16 : ne pas la sauter, la réponse n'est pas toujours « non ».
Gestion des 3h : ~1h sur Q1-Q4 (cœur de la partie I), 45 min sur Q5-Q8 (probas + récurrences), 30 min Q9-Q11 (topologie, viser ce qu'on maîtrise vraiment), 30 min Q13-Q16 (cueillette propre, Q13 est rapide via Q4), 15 min relecture. Le jury insiste : « savoir mener intelligemment un calcul en l'organisant de manière optimale est une compétence attendue ».
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Lire la totalité du sujet avant de commencer : surtout l'énoncé final qui éclaire les questions précédentes (cas d'infinité de solutions Sturm-Liouville).
- E est de dimension infinie : ne pas diagonaliser V*∘V via une matrice, argument classant à Q2.
- Sturm-Liouville ≠ Cauchy : ne pas invoquer existence-unicité Cauchy quand le problème porte sur y(a) et y'(b).
- Réciproque toujours rédigée : sens direct + sens inverse séparés explicitement (Q4, Q14). Les démonstrations par équivalence ne paient pas.
- Ne pas court-circuiter d'étape sur une question dont la réponse est donnée, démonstration claire, concise, citant les théorèmes du cours et les questions précédentes utilisées (avec leur numéro).
- Calcul organisé et stylo lisible : encres pâles peuvent être illisibles, brouillon recommandé. La présentation pèse.
Ressources
Téléchargements
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FAQ