Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sturm-Liouville : donner des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec conditions initiales portant sur y(a) et y'(b), a et b distincts (à la différence d'un problème de Cauchy). Le problème met en jeu de l'algèbre euclidienne, des équations différentielles, des probabilités, de la topologie et des séries de fonctions, ce qui assure une bonne couverture du programme MP.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Volterra et signe des valeurs propres(Q1-Q4)Niveau attendu
Q1 IBP propre avec hypothèses précisées. Q2 signe des valeurs propres source de nombreuses erreurs : certains prétendent diagonaliser V*∘V (alors que E est de dimension infinie). Q3 ne pas invoquer Cauchy (on est sur Sturm-Liouville). Q4 plutôt bien réussie mais réciproque souvent oubliée.
- Partie II — Partie probabilités — Bienaymé-Tchebychev et raisonnements par découpe(Q5-Q8)Difficile
Q5 loi de S_n trouvée mais espérance/variance via méthodes parfois lentes. Q6 Bienaymé-Tchebychev bien connue. Q7 très classante : un tiers environ des candidats vont au bout du raisonnement par découpe (rédaction expéditive sur la fin). Q8 récurrences précises, autres méthodes incomplètes.
- Partie III — Topologie et séries de fonctions(Q9-Q11)Très difficile
Q9 oubli de l'orthogonalité (suite « orthonormée »). Weierstrass forme trigonométrique : cas particulier rarement fait (pas une conséquence immédiate de Q8). Q10 très peu réussie : gestion de deux normes sur E. Q11 calculs interminables.
- Partie IV — Synthèse — facilité de Q13 et question ouverte Q16(Q12-Q16)Difficile
Q12 peu abordée (attrait pour Q13). Q13 « très facile » via Q4. Q14 sens direct facile, réciproque délicate (séparer rédactionnellement). Q15 peu trouvée (manque de temps). Q16 ouverte abordée par très peu — révélait la différence Cauchy/Sturm-Liouville.
Analyse globale du jury
« La première partie est tout à fait abordable et a bien différencié les candidats. Les difficultés allaient ensuite en croissant, avec une intervention de la topologie qui a été très sélective, traitée correctement par de très rares candidats. Quelques questions de fin pouvaient être résolues facilement en utilisant des résultats antérieurs, des élèves bien entraînés les ont abordées en sautant une grande partie du problème. L'épreuve a permis de classer correctement les candidats, surtout la première moitié d'entre eux. »
Top pièges sanctionnés
Diagonaliser V*∘V en dimension infinie (Q2)-2 pts
« Certains candidats prétendaient diagonaliser l'endomorphisme V*∘V et utilisaient des propriétés de sa matrice. Le problème, c'est que l'espace vectoriel E est de dimension infinie. »
Invoquer Cauchy pour un problème de Sturm-Liouville (Q3)-2 pts
« Il ne fallait surtout pas invoquer l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy, puisqu'on étudie un problème de Sturm-Liouville. »
Réciproque oubliée (Q4)-1 pts
« Question plutôt bien réussie, mais il manquait assez souvent la réciproque. »
Suite orthonormée sans vérifier l'orthogonalité (Q9)-2 pts
« On demandait de montrer qu'une suite était orthonormée, l'erreur principale a été, sur ce point, d'omettre de vérifier l'orthogonalité. »
Weierstrass déduit « immédiatement » de Q8 (Q9)-2 pts
« On trouvait la plupart du temps que c'était une conséquence immédiate de la question 8, ce qui ne donnait aucun point. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2015 · PDF officiel ↗
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