Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème propose, dans le prolongement du théorème de Picard, la démonstration de quelques résultats d'existence et d'unicité du point fixe d'une fonction et leur application à des équations intégrales de Fredholm. Cadre : espace de Banach E, partie fermée non vide A ⊂ E, applications contractantes f : A → A. Le sujet construit pas à pas la machinerie nécessaire pour traiter les équations intégrales de Fredholm.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q3 — Théorème du point fixe (Picard)(Q1-Q3)Abordable
Démonstration : unicité du point fixe (Q1, défaut de valeur absolue fréquent), suite récurrente de Cauchy via majoration géométrique (Q2, ‖x_{n+p}−x_n‖ majoré par quantité dépendant de p), Q3 : trois points (convergence, appartenance à A, point fixe) souvent partiels.
- Partie II — Q4-Q11 — Famille T et invariance par homotopie(Q4-Q11)Difficile
Étude de l'ensemble T des paramètres pour lesquels x = h(x,t) admet un point fixe. Q6 : invention courante du faux théorème « séparément continue ⇒ continue » (vrai pour lipschitzienne). Q9 : oubli fréquent de la stabilité de A par f. Q11 : application du résultat de connexité (peu vu).
- Partie III — Q12-Q19 — Opérateur intégral F(φ) et fermeture(Q12-Q19)Très difficile
Q12 : majoration de l'intégrale, erreurs nombreuses (valeur absolue, sup, t/x). Q13 : faux théorème « image continue d'un fermé borné est fermée bornée » (faux en dim infinie). Q14 : caractérisation séquentielle de X fermé. Q19 : condition de domination ignorée.
- Partie IV — Q20-Q23 — Continuité de F et synthèse(Q20-Q23)Très difficile
Q20 : module de continuité indépendant de n, t, u. Q21 : convergence uniforme pour la norme de E, continuité de F par caractérisation séquentielle. Q22 : succession d'extractions sur partie dense dénombrable. Q23 : synthèse pour l'existence d'un point fixe intérieur — peu réalisée complètement.
Analyse globale du jury
« Le jury qualifie le sujet d'« adapté, de longueur et de difficulté, au niveau moyen des candidats ». Il a permis « un bon étalement des notes » et d'évaluer « tant la connaissance du cours que la maîtrise de la logique mathématique et la capacité à comprendre les objectifs d'un problème donné ». Trois défauts récurrents : (1) attention insuffisante aux hypothèses et conditions d'applicabilité d'un théorème, (2) défaut de maîtrise des quantificateurs (∃, ∀), (3) propension à inventer des théorèmes pratiques mais faux. Note du jury : c'était la dernière année qu'un sujet de ce type était possible, en raison de la disparition des suites de Cauchy du programme de MP. »
Top pièges sanctionnés
Suite de Cauchy mal définie par interversion de quantificateurs (Q6)-2 pts
« Pour certains candidats, (un) est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0 et tout p ∈ N il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on a |x_{n+p} − x_n| ≤ ε. Autrement dit, N dépendrait de ε et de p et non seulement de ε. Une telle définition ne convient évidemment pas, comme le montre l'exemple de la suite (un) définie par un = √n. »
Faux théorème : « séparément continue ⇒ continue » (Q6)-2 pts
« C'est là que de nombreux candidats ont inventé un premier théorème : une fonction séparément continue par rapport à chacune de ses deux variables est continue par rapport à ses deux variables, qui est faux comme le montre l'exemple de la fonction f définie par f(x,y) = xy/(x²+y²). Par contre, ce résultat est vrai quand on remplace le mot « continue » par « lipschitzienne ». »
Faux théorème : « image continue d'un fermé borné est fermée bornée » (Q13)-2 pts
« Une nouvelle fois, un certain nombre de candidats ont invoqué le théorème de Picard pour répondre à cette question. Cela reposait sur le théorème suivant : l'image d'un fermé borné par une application continue est un fermé borné, qui est faux en dimension infinie. »
Erreurs sur l'intégrale de F(φ)(t) (Q12)-2 pts
« Cette question a donné lieu à de nombreuses erreurs. Celles-ci sont par ordre croissant de gravité : oubli de la valeur absolue, mauvais positionnement du sup, intégrale de la norme majorée ensuite par la norme de l'intégrale, prise du sup par rapport à la variable d'intégration, confusion entre les variables t et x. »
Convergence d'une suite de fonctions sans condition de domination (Q19)-2 pts
« Le procédé le plus naturel consistait à utiliser un théorème d'intégration d'une suite de fonctions. Il s'avère qu'un nombre conséquent de candidats n'ont pas idée de l'existence d'une condition de domination. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2014 · PDF officiel ↗
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