Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème portait sur deux thèmes du programme MP : les suites et les probabilités, avec pour but d'étudier des applications probabilistes du lemme de sous-additivité de Fekete et du théorème d'Erdös-Szekeres. Les candidats se répartissaient en quatre catégories selon leur maîtrise (analyse, probas, les deux, aucun). Peu de calculs, raisonnements assez fins, bien adaptés à une évaluation des capacités intellectuelles.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires (Q1-Q2)(Q1-Q2)Niveau attendu
Q1 abordable mais nécessite la définition de l'espérance d'une variable aléatoire — pas le cas pour certains. Q2 sans difficulté intrinsèque mais préciser tous les arguments (croissance log et exp) ; un terme à éliminer par majoration explicite, pas par effaceur.
- Partie II — Suites bornées : sup, inf, limsup et liminf (Q3-Q9)(Q3-Q9)Difficile
Q3 bornes sup/inf via partie non vide majorée — « non vide » indispensable. Q4 très mal traitée : analogie limites/limsup ne marche pas. Q6 théorème d'encadrement souvent confondu avec passage à la limite. Q7 division euclidienne. Q8 majorée à partir du rang 2n. Q9 fausse monotonie supposée.
- Partie III — Probabilités (Q10-Q15)(Q10-Q15)Difficile
Q10 distingue les candidats à bonne perception probabiliste. Q11 : invoquer même loi sans indépendance ne suffit pas. Q12 faible taux étonnant — Fekete indiqué dans l'énoncé : log (positivité), opposer pour inverser le sens, cas particulier. Q13-Q14 explication sans calcul. Q15 contre-exemple.
- Partie IV — Erdös-Szekeres et fin du sujet (Q16-Q20)(Q16-Q20)Très difficile
Q16 quelques bonnes solutions. Q17 idée intuitive d'inverser une liste croissante pour décroissante. Q18-Q19 résultats épars. Q20 personne ne la traite complètement. La plupart des bonnes copies s'arrêtaient à Q15.
Analyse globale du jury
« La longueur était raisonnable, les bons candidats sont arrivés à traiter quinze à seize questions correctement. Quelques grappilleurs traitaient quatre ou cinq questions, en général assez mal, puis essayaient d'aborder, la plupart du temps pour ne rien dire, toutes les autres. Cette attitude est à déconseiller formellement, elle ne rapporte en général pas grand-chose. L'étalement des notes a été satisfaisant, surtout sur la première moitié du classement. Sur ce sujet en particulier, le grappillage ne payait pas — viser plutôt le traitement complet d'une partie significative. »
Top pièges sanctionnés
limsup/liminf traitées par analogie avec les limites (Q4)-2 pts
« La question 4 a été très mal traitée, les candidats se contentant en général d'appliquer aux limites supérieures et inférieures des résultats qu'ils avaient vu pour les limites. L'analogie de nom ne suffit pas, du moins en mathématiques, pour justifier une extension des propriétés. »
Théorème d'encadrement vs passage à la limite (Q6)-2 pts
« À la question 6, la réciproque se traite avec le théorème d'encadrement, comme d'habitude souvent confondu avec le passage à la limite dans les inégalités. »
Même loi invoquée sans indépendance (Q11)-2 pts
« À la question 11, l'erreur principale consistait à penser qu'on pouvait conclure en invoquant simplement le fait que les variables aléatoires étaient supposées de même loi, en passant sous silence l'hypothèse d'indépendance. »
Fekete pas appliqué malgré indication explicite (Q12)-2 pts
« Les correcteurs ont été surpris par le faible taux de réussite de la question 12, les candidats ne pensant pas à utiliser le lemme de Fékété, alors que l'énoncé disait explicitement que cette partie en était une application. »
Grappillage en fin de sujet ne paie pas-2 pts
« Sur ce sujet en particulier le grappillage ne payait pas. Quelques grappilleurs traitaient quatre ou cinq questions, en général assez mal, puis essayaient d'aborder, la plupart du temps pour ne rien dire, toutes les autres. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2018 · PDF officiel ↗
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