Top piège du sujet
limsup/liminf traitées par analogie avec les limites (Q4)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème portait sur deux thèmes du programme MP : les suites et les probabilités, avec pour but d'étudier des applications probabilistes du lemme de sous-additivité de Fekete et du théorème d'Erdös-Szekeres. Les candidats se répartissaient en quatre catégories selon leur maîtrise (analyse, probas, les deux, aucun). Peu de calculs, raisonnements assez fins, bien adaptés à une évaluation des capacités intellectuelles.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires (Q1-Q2)(Q1-Q2)Niveau attendu
Q1 abordable mais nécessite la définition de l'espérance d'une variable aléatoire, pas le cas pour certains. Q2 sans difficulté intrinsèque mais préciser tous les arguments (croissance log et exp) ; un terme à éliminer par majoration explicite, pas par effaceur.
- Partie II — Suites bornées : sup, inf, limsup et liminf (Q3-Q9)(Q3-Q9)Difficile
Q3 bornes sup/inf via partie non vide majorée, « non vide » indispensable. Q4 très mal traitée : analogie limites/limsup ne marche pas. Q6 théorème d'encadrement souvent confondu avec passage à la limite. Q7 division euclidienne. Q8 majorée à partir du rang 2n. Q9 fausse monotonie supposée.
- Partie III — Probabilités (Q10-Q15)(Q10-Q15)Difficile
Q10 distingue les candidats à bonne perception probabiliste. Q11 : invoquer même loi sans indépendance ne suffit pas. Q12 faible taux étonnant, Fekete indiqué dans l'énoncé : log (positivité), opposer pour inverser le sens, cas particulier. Q13-Q14 explication sans calcul. Q15 contre-exemple.
- Partie IV — Erdös-Szekeres et fin du sujet (Q16-Q20)(Q16-Q20)Très difficile
Q16 quelques bonnes solutions. Q17 idée intuitive d'inverser une liste croissante pour décroissante. Q18-Q19 résultats épars. Q20 personne ne la traite complètement. La plupart des bonnes copies s'arrêtaient à Q15.
Analyse globale du jury
« La longueur était raisonnable, les bons candidats sont arrivés à traiter quinze à seize questions correctement. Quelques grappilleurs traitaient quatre ou cinq questions, en général assez mal, puis essayaient d'aborder, la plupart du temps pour ne rien dire, toutes les autres. Cette attitude est à déconseiller formellement, elle ne rapporte en général pas grand-chose. L'étalement des notes a été satisfaisant, surtout sur la première moitié du classement. Sur ce sujet en particulier, le grappillage ne payait pas, viser plutôt le traitement complet d'une partie significative. »
Top pièges sanctionnés
limsup/liminf traitées par analogie avec les limites (Q4)-2 pts
« La question 4 a été très mal traitée, les candidats se contentant en général d'appliquer aux limites supérieures et inférieures des résultats qu'ils avaient vu pour les limites. L'analogie de nom ne suffit pas, du moins en mathématiques, pour justifier une extension des propriétés. »
Théorème d'encadrement vs passage à la limite (Q6)-2 pts
« À la question 6, la réciproque se traite avec le théorème d'encadrement, comme d'habitude souvent confondu avec le passage à la limite dans les inégalités. »
Même loi invoquée sans indépendance (Q11)-2 pts
« À la question 11, l'erreur principale consistait à penser qu'on pouvait conclure en invoquant simplement le fait que les variables aléatoires étaient supposées de même loi, en passant sous silence l'hypothèse d'indépendance. »
Fekete pas appliqué malgré indication explicite (Q12)-2 pts
« Les correcteurs ont été surpris par le faible taux de réussite de la question 12, les candidats ne pensant pas à utiliser le lemme de Fékété, alors que l'énoncé disait explicitement que cette partie en était une application. »
Grappillage en fin de sujet ne paie pas-2 pts
« Sur ce sujet en particulier le grappillage ne payait pas. Quelques grappilleurs traitaient quatre ou cinq questions, en général assez mal, puis essayaient d'aborder, la plupart du temps pour ne rien dire, toutes les autres. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2018 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2018
L'épreuve Maths I Mines-Ponts MP 2018 s'est déroulée fin avril 2018, durée 3h, coefficient 4. Sujet commun aux écoles du concours commun Mines-Ponts.
Le problème porte sur les suites et les probabilités, avec comme objectif d'étudier les applications probabilistes du lemme de Fekete et du théorème d'Erdös-Szekeres. Préliminaires : inégalité E(X) ≤ m−1+n·P(X≥m), encadrement de n!, étude de limsup et liminf d'une suite bornée. Le jury : « peu de calculs dans le sujet qui comportait des raisonnements assez fins, bien adaptés à une évaluation des capacités intellectuelles ».
Pas de statistiques publiées. Les bons candidats ont traité « quinze à seize questions correctement », étalement satisfaisant surtout sur la première moitié du classement. Conseil clé du jury : sur ce sujet, « le grappillage ne payait pas », viser le traitement complet d'une partie significative.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Sujet à raisonnements fins, peu calculatoire. Le levier différenciant est la finesse sur les suites bornées (limsup ≠ limite, encadrement ≠ passage à la limite) et la maîtrise des hypothèses probabilistes (indépendance, pas seulement même loi).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise Q1 (E(X) bien définie), Q2 (croissance log/exp dite), Q3 (partie non vide majorée), Q5, Q6 (théorème d'encadrement), Q7 (division euclidienne), Q10 (indépendance des évènements). Tu fais 7-8 questions propres = supérieur à la moyenne.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q4 finesse sur limsup/liminf (pas par analogie). Q6 sens direct (définition de la limite). Q8 majorée à partir d'un rang. Q12 = Fekete : passer au log (positivité), opposer pour changer de sens, traiter cas particulier. Q15 contre-exemple. 15-16 questions = top performance selon le jury.
Gestion des 3h : ~30 min sur Q1-Q2 (préliminaires propres), 1h sur Q3-Q9 (cœur des suites, où la finesse paie), 1h sur Q10-Q15 (probabilités + Fekete), 30 min relecture + cueillette éventuelle Q16. Le jury : « d'essayer de prendre un peu de recul, d'entrer dans le problème plutôt que le considérer comme un empilement de questions ».
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Pas d'analogie de nom : limsup/liminf ne se traitent pas comme des limites par défaut. Démontrer chaque propriété.
- Théorème d'encadrement, pas passage à la limite dans les inégalités, confusion massivement sanctionnée à Q6.
- Indépendance explicite en probabilités, invoquer « même loi » sans l'indépendance ne conclut pas (Q11).
- Lire les indications de l'énoncé : si « cette partie est une application du lemme de Fekete », alors utiliser Fekete (Q12), passer au log, vérifier positivité, opposer pour changer de sens.
- Contre-exemple = arme absolue pour réfuter une indépendance ou une propriété (Q15), préférable aux arguments intuitifs.
- Pas de grappillage en fin de sujet : sur ce sujet en particulier, ne paie pas. Mieux vaut 15 questions propres que 22 sales.
- Pas d'effaceur sur un terme « en trop » : éliminer par majoration explicite, le rédiger.
Ressources
Téléchargements
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FAQ