Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet porte sur les racines carrées de matrices complexes : existence (résolution de X² = A) et calcul numérique via une adaptation matricielle de la méthode de Newton. Trois grandes parties : exemples (I_2 a une infinité de racines, matrice nilpotente avec 1 en (1,3), matrice symétrique réelle définie positive avec unique racine), existence et calcul d'une racine carrée par trigonalisation, algorithme de Newton matriciel et étude de convergence.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q3 — Exemples concrets(Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 : I_2 a une infinité de racines carrées (toutes les symétries, justifier l'infinité) ; seuls I_2 et −I_2 sont polynômes en I_2. Q2 : racine de A nilpotente comme polynôme X = a₀ I + a₁ A. Q3 : matrice symétrique définie positive — unique racine SDP via théorème spectral en base orthonormée.
- Partie II — Q4-Q8 — Existence pour matrice triangulaire et générale(Q4-Q8)Difficile
Q4 : équation U² = T triangulaire. Q5 : C̃ = complexes non nuls non réels négatifs. Q6 : (Σ|z_k|)² ≠ Σ|z_k|² — moitié des candidats ont confondu ! Q7 : polynôme minimal (racines simples ? non ; racines = valeurs propres). Q8 : Y propre de Bᵀ (pas B) pour XYᵀ.
- Partie III — Q9-Q14 — Différentielle et convergence locale(Q9-Q14)Très difficile
Q9 : différentielle dF_X(H) = XH + HX, dF_X inversible ssi X et −X sans valeur propre commune. Q10 : dF_{X*} inversible (Re val. propres > 0), continuité de X ↦ dF_X. Q11 : G(X*) = X*, calcul de G(X*+H) − G(X*). Q13 : convergence locale avec ajustement de constante.
- Partie IV — Q15-Q21 — Newton matriciel et synthèse(Q15-Q21)Très difficile
Q15 : suite (V_k) bien définie, V_k commute avec A. Q16-Q17 : récurrences pour structure de la suite (rares candidats rédigent la récurrence proprement). Q18 : λ_{k,ℓ} → √λ_ℓ, V_k → racine via continuité du produit. Q19-Q21 : très rarement abordées avec succès.
Analyse globale du jury
« Bilan sévère : « l'impression générale des correcteurs à l'issue de cette session est une dégradation sensible de la qualité des copies, tant du point de vue de la présentation et de la rédaction que pour ce qui concerne le contenu mathématique ». Le jury cible : orthographe (Cauchy, Schwarz, Cayley, Hamilton mal écrits, théorème « spectrale »), abréviations, encres pâles, ratures. « Plutôt que de rédiger avec soin et l'une après l'autre les questions posées, il fait au plus vite, sans justifier toutes ses assertions, sans fournir un minimum d'étapes de calcul, et cherche à traiter ainsi le maximum de questions ». Le jury rappelle : « le diable est dans les détails ». »
Top pièges sanctionnés
Existence d'une infinité de racines carrées de I_2 mal justifiée (Q1)-2 pts
« Cette question pourtant très simple a donné lieu à des débordements invraisemblables dans un grand nombre de copies. […] Il fallait justifier qu'il y a une infinité [de matrices de symétrie], ne serait-ce qu'en disant qu'il y a une infinité de couples de droites vectorielles non confondues. Les candidats qui ont reconnu que seuls I_2 et −I_2 sont des polynômes en I_2 ne sont pas la majorité. »
Théorème « spectrale » — orthographe et application bâclée (Q3)-2 pts
« Mentionnons que nous avons lu dans plus de la moitié des copies l'expression « théorème spectrale ». […] Il leur permettrait sans doute de se rendre compte qu'il est nécessaire de diagonaliser A dans une base orthonormée, autrement dit avec une matrice de passage orthogonale. »
(Σ |z_k|)² majoré par Σ |z_k|² (Q6)-2 pts
« Ce sont bien la moitié des candidats qui ont majoré le carré d'une somme par la somme des carrés : il est pourtant facile de remarquer que (1+1)² n'est pas majoré par 1²+1² ! Un grand nombre d'entre eux n'ayant pas introduit de modules ont écrit des inégalités entre nombres complexes. »
Inversibilité de dF_X confondue avec inversibilité de X (Q9)-2 pts
« L'inversibilité de dF_X a posé des problèmes à beaucoup : certains l'ont confondue avec l'inversibilité de la matrice dF_X(H). La plupart ont donné la condition correcte (X et −X n'ont aucune valeur propre en commun), mais nombreux sont ceux qui ont écrit qu'elle équivaut à X inversible, alors que la matrice diag(1, −1) est un contre-exemple flagrant à la réciproque. »
Polynôme minimal mal connu (Q7)-2 pts
« Nous avons lu de nombreux errements concernant le polynôme minimal. Non, il n'est pas toujours à racines simples. Non, il ne comporte pas d'autres racines que les valeurs propres. Non, le polynôme minimal d'un produit de matrices n'est pas le produit de leurs polynômes minimaux. En outre, le fait qu'une matrice annule son polynôme minimal n'a rien à voir avec le théorème de Cayley-Hamilton. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2018 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
