Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Étude d'un endomorphisme d'un espace de fonctions C∞ sur [-a, a]. Le début est particulièrement simple et classique, ce qui a permis de bien classer l'ensemble des candidats ; quelques questions de topologie, redoutables pour le candidat moyen, ont permis aux meilleurs de faire la différence. Les intégrales de Wallis Wn = ∫₀^{π/2} (sin t)^n dt structurent les opérateurs u et v définis via ∫₀^{π/2} f(x sin t) dt.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Préliminaires — sous-espaces, linéarité, x sin(t) ∈ [-a, a](Q1-Q3)Niveau attendu
Q1 démonstration que P et D sont des SEV — généralement bien traitée mais oubli classique de la condition « non vide ». Q2 beaucoup moins bien réussie : oubli que x sin(t) ∈ [-a, a] pour tout (x,t), Leibniz souvent laborieux ou incomplet, linéarité parfois oubliée ou vague. Q3 bien traitée.
- Partie II — Intégrales de Wallis (Q4-Q6)(Q4-Q6)Niveau attendu
Q4 et Q6 sur Wallis (très classique). Étonnant que certains n'établissent pas la formule. D'autres calculent W_n (non demandé). Q5 décroissance stricte : continuité presque toujours oubliée — intégrer une inégalité stricte ne donne qu'une inégalité large.
- Partie III — Topologie : continuité, normes, Q10 ouverte bloquante(Q6-Q11)Difficile
Q6 continuité d'une application linéaire — partir de la définition générale est maladroit. Q7 ouverte massivement sautée. Q8 normes mieux réussie, oubli du module. Q10 ouverte bloquante : il fallait voir u∘v = identité (linéarité, restriction à une base).
- Partie IV — Synthèse — densité polynômes, parité, ouverte finale(Q12-Q19)Très difficile
Q9 Weierstrass cité, application au cas particulier traitée diversement. Q12 délicate topologiquement, bien traitée seulement dans les très bonnes copies. Q13 calcul peu fait. Q14 parité directe simple, réciproque utilise Q12. Q16 ouverte : la réponse n'était pas non, contrairement à Q7.
Analyse globale du jury
« Le début du problème, particulièrement simple et classique, a permis de bien classer l'ensemble des candidats. Quelques questions de topologie, redoutables pour le candidat moyen, ont permis aux meilleurs de faire la différence. La question 16, abordée par un nombre significatif de candidats, montre que le problème était de longueur raisonnable. Les correcteurs ont noté une dégradation dans la présentation des copies — certaines clairement sans utiliser le brouillon pourtant fourni. Conseil clé : ne pas faire impasse sur la topologie, travailler les techniques de calcul, traiter le problème dans sa globalité plutôt que comme une succession d'exercices. »
Top pièges sanctionnés
Oubli de x sin(t) ∈ [-a, a] et Leibniz laborieux (Q2)-2 pts
« Une proportion non négligeable de candidats oubliaient de préciser que x sin(t) appartient à [-a, a] pour tout (x,t) ∈ [-a, a] × [0, π/2], dans la plupart des copies on trouvait une application souvent laborieuse voire incomplète du théorème de Leibniz. »
Décroissance stricte intégrée comme stricte (Q5)-2 pts
« La décroissance stricte n'était pratiquement jamais bien traitée, l'hypothèse de continuité des fonctions intégrées étant presque toujours oubliée. Rappelons que l'intégration d'une inégalité, même stricte, ne donne qu'une inégalité large. »
Question ouverte bâclée (Q10)-3 pts
« On ne peut que conseiller aux futurs candidats de ne pas passer trop vite sur une question ouverte dont la réponse peut être déterminante pour la suite du sujet. Dans ce cas précis il n'y avait plus grand-chose dans les copies de ceux qui n'avaient pas vu que u∘v était égal à l'identité. »
Réponse à une question ouverte = toujours non (Q16)-1 pts
« On peut à son propos faire une mise en garde : la réponse à une question ouverte n'est pas toujours non, cela marchait pour la question 7, pas pour la question 16. »
Brouillon fourni non utilisé-1 pts
« Dans certains cas il est clair que le brouillon, pourtant fourni par le concours, n'a pas été utilisé. Les candidats doivent être conscients que si un correcteur n'arrive pas à lire la réponse à une question, il mettra zéro, on n'attribue pas de points au bénéfice du doute. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2017 · PDF officiel ↗
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