Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet mobilisant les connaissances en analyse et probabilités (PCSI + PSI). Solide maîtrise des grands théorèmes sur les intégrales à paramètre et impropres exigée, dans des situations particulièrement techniques. La majorité des candidats a traité Q1-Q7 relativement correctement et Q8-Q16 avec moins de rigueur. Un candidat répondant consciencieusement aux 10 premières questions avait déjà une excellente note. Présentation et graphie en net recul.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q7 — Changements de variable et croissance lente(Q1-Q7)Niveau attendu
Q1 changements de variable annoncés sans hypothèses. Q2 confondre limite et continuité (« l'exponentielle est continue en +∞ »). Q3 caractère C¹ bijectif à vérifier ; intégrales mêlant t et θ n'ont pas de sens. Q4 caractère borné à ±∞ depuis définition formelle ; (t^k)_k pas croissante pour tout…
- Partie II — Q8-Q13 — Dérivation et intégration par parties(Q8-Q13)Difficile
Q8 erreurs de calcul de dérivée composée ; manipulation des valeurs absolues. Q9 confusion dérivable / continûment dérivable. Q10 (|a|+|b|)^n ≤ |a|^n+|b|^n (faux !). Q11 théorème de régularité avec hypothèses partielles, domination sur R+ entier au lieu d'un segment. Q12 IPP sans convergence du…
- Partie III — Q14-Q16 — Probabilités (TCL quantitatif)(Q14-Q16)Très difficile
Q14 énormités : « si X1(ω) ≤ 1 alors X1 d'espérance finie » ; produit de deux v.a. ayant une espérance ⇒ chacune n'a pas l'espérance. Q15 confusion indépendance mutuelle / 2 à 2 ; intersections de variables aléatoires ou de probabilités. Q16 indépendance X_i^m et g(S^(i)) ; g bornée n'entraîne…
- Partie IV — Q17-Q21 — Synthèse finale(Q17-Q21)Très difficile
Faible fraction des candidats. Q21 majoration explicite de l'écart au TCL.
Analyse globale du jury
« Le sujet exigeait des candidats une solide maîtrise des grands théorèmes du cours sur les intégrales à paramètre et les intégrales impropres, dans des situations particulièrement techniques. Le jury tient à signaler que la présentation et la graphie des copies sont en net recul vis-à-vis des années précédentes. Beaucoup de candidats utilisent des abréviations sans expliquer ce qu'elles recouvrent. Sanctions envisagées pour ⇒ et ⇔ utilisés à mauvais escient. Mentions « f(x) est continue » sont en général sanctionnées — formulation incorrecte assimilant fonction à son expression. Cette année, le jury a eu à déplorer de nombreuses lacunes : manque d'interrogation systématique de l'existence des objets ; hypothèses du changement de variable ou IPP absentes ; théorèmes de régularité connus… »
Top pièges sanctionnés
Mention « f(x) est continue » (assimile fonction à son expression)-1 pts
« Les mentions du type ≪ f(x) est continue ≫ sont en général sanctionnées — c'est une formulation incorrecte qui assimile une fonction à son expression — et affirmer ≪ f(x, t) est continue ≫ est tout simplement dénué de sens – de quelle fonction parle-t-on ? La fonction en x (à t fixé)? en t (à x fixé)? du couple (x,t)? »
Affirmer « 1/x² est intégrable sur R »-2 pts
« Plus d'un tiers des candidats affirme sans sourciller que ≪ 1/x² est intégrable sur R ≫. »
Q4 : prétendre que (t^k)_k est croissante pour tout réel positif t-1 pts
« L'erreur la plus commune est de prétendre que la suite (t^k)_k est croissante pour tout réel positif t. »
Q10 : (|a|+|b|)^n ≤ |a|^n + |b|^n (inégalité fausse)-2 pts
« Là encore, trop de candidats ne maîtrisent pas les valeurs absolues et affirment des inégalités, parfois vraies comme |a|^k|b|^(n−k) +|a|^(n−k)|b|^k ≤ |a|^n +|b|^n qui peut se vérifier en envisageant le cas |a| ≤ |b|, mais souvent fausses comme (|a| + |b|)^n ≤ |a|^n + |b|^n. »
Q14 : utiliser une somme Σ_{x∈X(Ω)} sans énumération (hors-programme PSI)-2 pts
« Quoiqu'on puisse le regretter, le programme de la filière PSI ne donne aucun sens à une quantité comme Σ_{x∈X(Ω)} et ne contient aucun théorème de sommation par paquets. »
Q15 : confondre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux-2 pts
« La confusion entre indépendance mutuelle et indépendance deux à deux est fréquente. Décrire cette indépendance par l'indépendance des événements (X_k = x), avec le même x pour toutes les variables, ne suffit pas. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2018 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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