Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Joli problème permettant d'obtenir, par une méthode probabiliste, un équivalent en l'infini d'une famille de fonctions. Le problème contient un certain nombre de questions élémentaires et proches du cours, abordées par une majorité, avec barème volontairement généreux. Le reste est de difficulté raisonnable mais demande plus d'initiative. Cette épreuve a parfaitement répondu aux attentes du concours. La diversité des thèmes et le panachage de difficulté ont su départager les candidats.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Séries entières (Q1-Q2)(Q1-Q2)Abordable
Q1 critère de d'Alembert généralement utilisé, simplifications folkloriques, « par croissance comparée on a aussitôt » sans points. Q2 développements usuels en série entière connus, mais l'absence du premier terme pas toujours prise en compte.
- Partie II — Partie II — Probabilités et équivalent (Q3-Q9)(Q3-Q9)Niveau attendu
Q3 absolue convergence ⇒ existence de l'espérance ; transfert ne donne pas systématiquement l'existence de E(f(X)). Q4 Bienaymé-Tchebychev pas toujours bien énoncé, application traitée par 1/3. Q5 Markov souvent proposée. Q6 erreurs : produit de v.a. d'espérance finie a une espérance,…
- Partie III — Partie III — Asymptotiques (Q10-Q17)(Q10-Q17)Difficile
Q10 dérivation d'un produit parfois = produit des dérivées ; tableau de variation préférable à un long discours filandreux. Q12 ⌊x⌋ ∼ ⌊x⌋+k ⇒ ⌊x⌋! ∼ (⌊x⌋+k)! (faux !). Q13 invocation de la décroissance contredisant Q10. Q14 peu de réponses. Q15 moitié des copies. Q16-Q17 peu de réponses…
- Partie IV — Partie IV — Équation différentielle (Q18-Q20)(Q18-Q20)Très difficile
Q18 (c_n) pas toujours explicitée, rayon de convergence rarement étudié. Q19 Stirling parfois utilisée à bon escient. Q20 quelques bonnes réponses.
Analyse globale du jury
« Le joli problème de mathématiques de cette année permet d'obtenir, par une méthode probabiliste, un équivalent en l'infini d'une famille de fonctions. Le problème contient un certain nombre de questions élémentaires et proches du cours, qui ont été abordées par une majorité de candidats, pour lesquelles le barème était volontairement généreux. Le reste est de difficulté raisonnable, mais demande un peu plus d'initiative. Cette épreuve a parfaitement répondu aux attentes du concours. La diversité des thèmes abordés ainsi que le panachage dans la difficulté des questions ont su départager les candidats. »
Top pièges sanctionnés
Q1 : « par croissance comparée, on a aussitôt... » ne donne pas de points-1 pts
« Le critère de d'Alembert est généralement utilisé, mais les simplifications dans les calculs sont parfois folkloriques. Un argument du type « par croissance comparée, on a aussitôt... » ne donne pas de point. »
Q3 : appliquer le théorème de transfert sans s'assurer de l'existence de E(f(X))-2 pts
« Chez bon nombre de candidats, le théorème de transfert donne systématiquement l'existence de l'espérance de f(X) lorsque X admet une espérance, ce qui est bien sûr inexact. »
Q6 : invoquer E(produit) = produit(E) ou E(constante)=0-3 pts
« Les correcteurs ont été surpris par le grand nombre de copies dans lesquelles figuraient les arguments suivants : un produit de variables aléatoires admettant une espérance, admet une espérance, la linéarité de l'espérance donne que l'espérance d'un produit est le produit des espérances. L'espérance d'une constante est nulle. Bien sûr, tous ces arguments sont incorrects. »
Q10 : dériver un produit comme produit des dérivées-2 pts
« La dérivation d'un produit est parfois égale au produit des dérivées. La donnée d'un tableau de variation est nettement préférable à un long discours filandreux. »
Q12 : déduire ⌊x⌋! ∼ (⌊x⌋+k)! de ⌊x⌋ ∼ ⌊x⌋+k-2 pts
« On trouve souvent l'assertion : ⌊x⌋ est équivalent à ⌊x⌋ + k, ce qui est vrai, donc ⌊x⌋! est équivalent à (⌊x⌋ + k)!, ce qui est faux. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths PSI, session 2019 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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