Top piège du sujet
Affirmer ⇒ truquer le calcul (« carte de l'honnêteté »)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet traite de marche aléatoire dans ℤ^d : suite (S_n) avec S_0 = 0_d, S_n = Σ X_k pour (X_k) i.i.d. à valeurs dans ℤ^d. Questions naturelles : revient-on en 0 ? Au bout de combien de temps en moyenne ? Combien de positions visitées en moyenne après n pas ? Outils : préliminaires (Stirling, comparaison série-intégrale, intégrale logarithmique I(x), DSE de 1/√(1−x)) puis fonctions génératrices F(x) = ΣP(S_n = 0)x^n et G(x) = ΣP(R = n)x^n reliées par F·(1−G) = 1.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5, Préliminaires analytiques(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 : Σ C(n,k)² = C(2n,n) par Newton et identification. Q2 : 28% des candidats ne connaissent pas Stirling, au programme. Q3 : équivalent de Σ 1/k^α par comparaison série-intégrale. Q4 : équivalent de I(x) = ∫₂^x dt/ln(t) par IPP (1/5 propre). Q5 : DSE de (1+x)^α et 1/√(1−x).
- Partie II — Q6-Q11, Fonctions génératrices F et G(Q6-Q11)Difficile
Q6 : convergence de F(x) = Σ P(S_n=0)x^n. Q7 : indépendance de (R=k) et (S_n−S_k=0) par lemme des coalitions (1/10 propre) ; (R=k), k∈[[1,n]] N'EST PAS un système complet (R(Ω) = ℕ* ∪ {+∞}). Q8 : produit de Cauchy F·(1−G) = 1. Q11 : (Y_i=1) ≠ (R>i) (1/20 propre).
- Partie III — Q12-Q15, Récurrence et marche en dimension 1(Q12-Q15)Très difficile
Q12 : Cesàro pour conclure ; P(R>n) → P(R=+∞) via théorème sur suites décroissantes d'événements. Q13 : indépendance mutuelle des (X_n) indispensable pour P(S_{2n}=0). Q14 : F(x) = 1/√(1−4pqx²), G déduit, P(R=+∞) par continuité. Q15 : récurrente ssi p = q = 1/2 en dim 1.
- Partie IV — Q16-Q20, Asymptotique de E(N_n) et synthèse(Q16-Q20)Très difficile
Q16 : a_k ≥ a_n dans Σ a_k b_{n-k} = 1 (b_{n-k} ≥ 0 essentiel). Q17 : encadrement et passage à la limite (florilège d'erreurs). Q18 : B_n ~ C ln(n) ; (m_n) avec m_n − n ~ n et B_{m_n} − B_{m_n−n} → 0 (m_n = 2n NE marche PAS). Q20 : A_n et B_n PAS indépendantes.
Analyse globale du jury
« Le jury déplore : « le manque de rigueur avec lequel sont traitées l'analyse et les probabilités. Beaucoup d'erreurs ont été commises dans les questions de convergence de séries. La notion d'indépendance a donné lieu à bien des errements. Outre sa confusion encore fréquente avec celle d'incompatibilité, elle est souvent vue comme un mot clé à insérer à intervalles réguliers dans les raisonnements ». L'épreuve « était progressive, les six premières questions étaient abordables et permettaient aux candidats sérieux de gagner des points ». Bilan : « ce sujet permettait de faire une distinction entre les excellents candidats et les élèves sérieux, mais aussi entre les candidats sérieux et ceux dont le travail pendant deux ans a pu manquer d'intensité ». »
Top pièges sanctionnés
Affirmer ⇒ truquer le calcul (« carte de l'honnêteté »)-2 pts
« Un certain nombre de questions donnaient la formule à démontrer, ce qui peut guider les candidats. Mais les points ne seront pas accordés pour avoir trouvé la formule mais pour la rigueur de la démarche. Malheureusement, certains candidats ne jouent pas la « carte de l'honnêteté » et partant dans une mauvaise direction, ils truquent au fur et à mesure leurs calculs pour aboutir au résultat demandé. […] « Des affirmations extraordinaires nécessitent des preuves extraordinaires » (Carl Sagan). »
Indépendance affirmée comme mot clé (commentaire général)-2 pts
« La notion d'indépendance a donné lieu à bien des errements. Outre sa confusion encore fréquente avec celle d'incompatibilité, elle est souvent vue comme un mot clé à insérer à intervalles réguliers dans les raisonnements. Or des variables aléatoires ont souvent été affirmées indépendantes alors qu'en réalité elles ne le sont pas, simplement parce que cela permettait aux calculs d'aboutir. »
Système complet d'événements faux (Q7)-2 pts
« Un certain nombre de candidats ont affirmé que les évènements (R = k) pour k ∈ [[1, n]] forment un système complet d'évènements. Or c'est faux, car R(Ω) = ℕ* ∪ {+∞}. Encore une fois, affirmer quelque chose parce que cela permet d'arriver au résultat demandé ne permet pas d'avoir de points si l'affirmation en question est fausse. »
(Y_i = 1) confondu avec (R > i) (Q11)-2 pts
« Beaucoup ont voulu montrer que les évènements (Y_i = 1) et (R > i) sont égaux, alors que ce résultat est faux. En effet, on peut visiter à la i-ième étape une nouvelle position tout en étant déjà retourné à 0, par exemple si d = 1 avec S_0 = 0, S_1 = 1, S_2 = 0, S_3 = −1, alors l'évènement (Y_3 = 1) est réalisé contrairement à (R > 3). »
A_n et B_n affirmées indépendantes sans preuve (Q20)-3 pts
« La question 20 a été traitée par beaucoup de candidats, qui ont cru, à tort, pouvoir utiliser la question 13. En notant A_n (respectivement B_n) l'abscisse (respectivement l'ordonnée) de S_n, ces candidats ont affirmé, sans preuve ni explication, que « A_n et B_n sont indépendantes ». Pourquoi une telle affirmation ? Parce que cela arrangeait bien les candidats, pardi ! Malheureusement pour ces candidats, A_n et B_n n'étaient pas indépendantes. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2020
L'épreuve Maths II Mines-Ponts MP 2020, durée 4h, coefficient 5, s'est déroulée dans le cadre du concours commun Mines-Ponts. Session 2020 maintenue malgré la crise COVID, avec un décalage calendaire imposé par le contexte sanitaire.
Sujet probabiliste intitulé « Nombre de sites visités par une marche aléatoire ». On considère une marche aléatoire (S_n) sur ℤ^d (S_0 = 0, S_n = X_1+…+X_n, X_i i.i.d.), R son premier instant de retour à l'origine (ou +∞), N_n le cardinal des sites visités. Objectif : étude asymptotique de E(N_n). Cinq parties : préliminaires analytiques (Q1-Q5, Stirling, comparaison série-intégrale, intégrale logarithmique I(x), DSE de 1/√(1−x)), fonctions génératrices F et G avec relation fondamentale F·(1−G) = 1 (Q6-Q11), récurrence (Q12-Q15), asymptotique de E(N_n) (Q16-Q20).
Le jury déplore : « le manque de rigueur avec lequel sont traitées l'analyse et les probabilités. Beaucoup d'erreurs ont été commises dans les questions de convergence de séries. La notion d'indépendance a donné lieu à bien des errements ». Difficulté évaluée ★★★★★/5.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury insiste sur la « carte de l'honnêteté » : « les points ne seront pas accordés pour avoir trouvé la formule mais pour la rigueur de la démarche ». Stratégie clé : préférer un raisonnement honnête et complet à une « démonstration » truquée pour atteindre une formule donnée.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Q1 : binôme de Newton + identification des coefficients de X^n (NE PAS substituer 1). Q2 : Stirling, au programme, le maîtriser. Q3 : 4 étapes (encadrement de f sur [k, k+1], croissance de l'intégrale, sommation, calcul de l'intégrale). Q4 : IPP avec hypothèses C¹. Q5 : DSE de (1+x)^α sans utiliser la notation hors-programme C(α, k).
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q7 : indépendance de (R = k) et (Sn − Sk = 0d) via lemme des coalitions ; (R = k) pour k ∈ [[1, n]] N'EST PAS un système complet. Q11 : Nn = 1 + Σ Yk puis E(Yi) = P(Yi = 1) en 3 étapes. Q14 : F(x) = 1/√(1−4pqx²), continuité en 1. Q18 : trouver (mn) telle que mn − n ~ n ET B(m_n) − B(m_n − n) → 0 (mn = 2n NE marche pas). Q20 : An et Bn NE sont PAS indépendantes.
Gestion des 4h : 1h sur Q1-Q5 (préliminaires, points sûrs), 1h30 sur Q6-Q11 (fonctions génératrices, lemme des coalitions), 1h sur Q12-Q17 (récurrence, marche en dimension 1, encadrement de a_n B_n), 30 min sur Q18-Q20 (asymptotique fine), 15 min de relecture. Le jury : « nous conseillons aux candidats d'être attentifs à ce premier groupe de questions plutôt que d'aller tenter une ou deux questions faisables mais éparpillées dans le sujet ».
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Carte de l'honnêteté : quand l'énoncé donne la formule à démontrer, les points sont sur la rigueur. Ne pas truquer les calculs pour aboutir au résultat demandé.
- Indépendance ≠ mot magique : toujours invoquer la définition (P(A ∩ B) = P(A)P(B)) ou un théorème explicite (lemme des coalitions). Ne pas affirmer l'indépendance « par évidence » ou parce que ça arrange.
- Système complet : R(Ω) = ℕ* ∪ {+∞} : pas seulement les valeurs finies. Ne pas confondre « événement » et « événement de probabilité non nulle ».
- (Y_i = 1) ≠ (R > i) : visiter une nouvelle position à l'étape i ne signifie pas ne pas être déjà retourné à 0 (contre-exemple en dimension 1 : S_0=0, S_1=1, S_2=0, S_3=−1).
- Stirling au programme : 28% des candidats ne la connaissaient pas. Inadmissible en MP. Idem pour la formule de comparaison série-intégrale et le DSE de (1+x)^α.
Ressources
Téléchargements
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