Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet traite de marche aléatoire dans ℤ^d : suite (S_n) avec S_0 = 0_d, S_n = Σ X_k pour (X_k) i.i.d. à valeurs dans ℤ^d. Questions naturelles : revient-on en 0 ? Au bout de combien de temps en moyenne ? Combien de positions visitées en moyenne après n pas ? Outils : préliminaires (Stirling, comparaison série-intégrale, intégrale logarithmique I(x), DSE de 1/√(1−x)) puis fonctions génératrices F(x) = ΣP(S_n = 0)x^n et G(x) = ΣP(R = n)x^n reliées par F·(1−G) = 1.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Préliminaires analytiques(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 : Σ C(n,k)² = C(2n,n) par Newton et identification. Q2 : 28% des candidats ne connaissent pas Stirling — au programme. Q3 : équivalent de Σ 1/k^α par comparaison série-intégrale. Q4 : équivalent de I(x) = ∫₂^x dt/ln(t) par IPP (1/5 propre). Q5 : DSE de (1+x)^α et 1/√(1−x).
- Partie II — Q6-Q11 — Fonctions génératrices F et G(Q6-Q11)Difficile
Q6 : convergence de F(x) = Σ P(S_n=0)x^n. Q7 : indépendance de (R=k) et (S_n−S_k=0) par lemme des coalitions (1/10 propre) ; (R=k), k∈[[1,n]] N'EST PAS un système complet (R(Ω) = ℕ* ∪ {+∞}). Q8 : produit de Cauchy F·(1−G) = 1. Q11 : (Y_i=1) ≠ (R>i) (1/20 propre).
- Partie III — Q12-Q15 — Récurrence et marche en dimension 1(Q12-Q15)Très difficile
Q12 : Cesàro pour conclure ; P(R>n) → P(R=+∞) via théorème sur suites décroissantes d'événements. Q13 : indépendance mutuelle des (X_n) indispensable pour P(S_{2n}=0). Q14 : F(x) = 1/√(1−4pqx²), G déduit, P(R=+∞) par continuité. Q15 : récurrente ssi p = q = 1/2 en dim 1.
- Partie IV — Q16-Q20 — Asymptotique de E(N_n) et synthèse(Q16-Q20)Très difficile
Q16 : a_k ≥ a_n dans Σ a_k b_{n-k} = 1 (b_{n-k} ≥ 0 essentiel). Q17 : encadrement et passage à la limite (florilège d'erreurs). Q18 : B_n ~ C ln(n) ; (m_n) avec m_n − n ~ n et B_{m_n} − B_{m_n−n} → 0 (m_n = 2n NE marche PAS). Q20 : A_n et B_n PAS indépendantes.
Analyse globale du jury
« Le jury déplore : « le manque de rigueur avec lequel sont traitées l'analyse et les probabilités. Beaucoup d'erreurs ont été commises dans les questions de convergence de séries. La notion d'indépendance a donné lieu à bien des errements. Outre sa confusion encore fréquente avec celle d'incompatibilité, elle est souvent vue comme un mot clé à insérer à intervalles réguliers dans les raisonnements ». L'épreuve « était progressive, les six premières questions étaient abordables et permettaient aux candidats sérieux de gagner des points ». Bilan : « ce sujet permettait de faire une distinction entre les excellents candidats et les élèves sérieux, mais aussi entre les candidats sérieux et ceux dont le travail pendant deux ans a pu manquer d'intensité ». »
Top pièges sanctionnés
Affirmer ⇒ truquer le calcul (« carte de l'honnêteté »)-2 pts
« Un certain nombre de questions donnaient la formule à démontrer, ce qui peut guider les candidats. Mais les points ne seront pas accordés pour avoir trouvé la formule mais pour la rigueur de la démarche. Malheureusement, certains candidats ne jouent pas la « carte de l'honnêteté » et partant dans une mauvaise direction, ils truquent au fur et à mesure leurs calculs pour aboutir au résultat demandé. […] « Des affirmations extraordinaires nécessitent des preuves extraordinaires » (Carl Sagan). »
Indépendance affirmée comme mot clé (commentaire général)-2 pts
« La notion d'indépendance a donné lieu à bien des errements. Outre sa confusion encore fréquente avec celle d'incompatibilité, elle est souvent vue comme un mot clé à insérer à intervalles réguliers dans les raisonnements. Or des variables aléatoires ont souvent été affirmées indépendantes alors qu'en réalité elles ne le sont pas, simplement parce que cela permettait aux calculs d'aboutir. »
Système complet d'événements faux (Q7)-2 pts
« Un certain nombre de candidats ont affirmé que les évènements (R = k) pour k ∈ [[1, n]] forment un système complet d'évènements. Or c'est faux, car R(Ω) = ℕ* ∪ {+∞}. Encore une fois, affirmer quelque chose parce que cela permet d'arriver au résultat demandé ne permet pas d'avoir de points si l'affirmation en question est fausse. »
(Y_i = 1) confondu avec (R > i) (Q11)-2 pts
« Beaucoup ont voulu montrer que les évènements (Y_i = 1) et (R > i) sont égaux, alors que ce résultat est faux. En effet, on peut visiter à la i-ième étape une nouvelle position tout en étant déjà retourné à 0, par exemple si d = 1 avec S_0 = 0, S_1 = 1, S_2 = 0, S_3 = −1, alors l'évènement (Y_3 = 1) est réalisé contrairement à (R > 3). »
A_n et B_n affirmées indépendantes sans preuve (Q20)-3 pts
« La question 20 a été traitée par beaucoup de candidats, qui ont cru, à tort, pouvoir utiliser la question 13. En notant A_n (respectivement B_n) l'abscisse (respectivement l'ordonnée) de S_n, ces candidats ont affirmé, sans preuve ni explication, que « A_n et B_n sont indépendantes ». Pourquoi une telle affirmation ? Parce que cela arrangeait bien les candidats, pardi ! Malheureusement pour ces candidats, A_n et B_n n'étaient pas indépendantes. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
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