Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème portait exclusivement sur l'algèbre, une grande partie ne faisant appel qu'au programme de première année. Quelques questions difficiles évaluaient la maîtrise de l'abstraction acquise en deuxième année. But : démontrer le théorème de Gerstenhaber (1958) — pour tout sous-espace nilpotent 𝒱 ⊂ ℒ(E), dim 𝒱 ≤ n(n−1)/2, l'égalité caractérisant les matrices triangulaires supérieures strictes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — I. Généralités sur les nilpotents (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 bien traitée mais erreurs graves possibles (« trace produit = produit traces »). Q2 sans difficulté hors rédaction. Q3 quasi tous candidats mais inclusion sans égalité. Q4 1ère partie classique, 2ème plus difficile à rédiger. Q5 = penser à utiliser Q4 avec absurde.
- Partie II — II. Endomorphismes de rang 1 — notation a⊗x (Q6-Q7)(Q6-Q7)Niveau attendu
Q6 convenablement traitée mais notation a⊗x potentiellement déstabilisante, explique des contre-performances dans des copies de bon niveau. Nombreux points à vérifier, il en manquait souvent un ou deux. Q7 plusieurs méthodes possibles, résultat assez souvent correct.
- Partie III — III. Lemmes (trace, vecteur propre commun) (Q8-Q12)(Q8-Q12)Difficile
Notations en début de partie demandent du temps. Q8 erreur fréquente : binôme de Newton sans hypothèse de commutation. Même problème en Q9 → notes très contrastées. Q10 propriétés de la trace, rédaction précise nécessaire. Q11-Q12 peu abordées.
- Partie IV — IV. Théorème de Gerstenhaber (Q13-Q24)(Q13-Q24)Très difficile
Q13 souvent dernière abordée — SEV classique, oublis (non vide). Q15 théorème du rang évident pour ceux passés par les AL. Q16-Q19 réponses partielles, peu de grappillage. Q20-Q24 quasi pas abordées — poids très faible dans le barème, sans conséquence sur le classement.
Analyse globale du jury
« Sujet manifestement trop long, surtout pour une épreuve de trois heures, mais comme il était progressif, un barème adapté attribuant très peu de points aux dernières questions a permis d'obtenir une moyenne d'épreuve correcte et un bon étalement des notes. Les correcteurs ont été attentifs à ce que ce choix de répartition des points ne lèse personne, et il n'y a pas eu le cas d'un candidat qui aurait négligé les premières questions pour aller traiter les dernières. Une proportion non négligeable des candidats (de l'ordre de 10%) est d'un excellent niveau en algèbre abstraite. Proportion raisonnable de copies très faibles. »
Top pièges sanctionnés
« Trace d'un produit = produit des traces » (Q1)-2 pts
« La question 1, bien traitée en général, était tout de même l'occasion d'écrire des erreurs très graves, comme « la trace d'un produit est égale au produit des traces ». »
Inclusion au lieu d'égalité (Q3)-1 pts
« La question 3 a été abordée par la quasi totalité des candidats, mais les réponses étaient souvent incomplètes, se réduisant à une inclusion sans aller jusqu'à l'égalité. »
Binôme de Newton sans commutation (Q8)-2 pts
« Une erreur fréquente à la question 8 était d'appliquer la formule du binôme de Newton, alors qu'il manquait l'hypothèse de commutation. On retrouvait ce problème à la question suivante, ce qui a bien sûr entraîné des notes très contrastées. »
Brouillon non utilisé, ratures sur copie-1 pts
« Du fait de la numérisation des copies, certaines techniques de modification sont interdites, mais l'utilisation du brouillon est toujours autorisée... et même recommandée. Il n'est pas question de faire une résolution complète au brouillon puis de recopier, mais il faudrait éviter de faire figurer toutes les tentatives sur la copie en raturant les échecs. »
Plusieurs résultats à établir dans une seule question CCMP-2 pts
« Du fait de la limitation du nombre de questions, il y a souvent plusieurs résultats à établir dans une seule question, et l'expérience de la correction montre qu'il en manque fréquemment. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
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