Top piège du sujet
« Trace d'un produit = produit des traces » (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème portait exclusivement sur l'algèbre, une grande partie ne faisant appel qu'au programme de première année. Quelques questions difficiles évaluaient la maîtrise de l'abstraction acquise en deuxième année. But : démontrer le théorème de Gerstenhaber (1958), pour tout sous-espace nilpotent 𝒱 ⊂ ℒ(E), dim 𝒱 ≤ n(n−1)/2, l'égalité caractérisant les matrices triangulaires supérieures strictes.
Structure de l'épreuve
- Partie I — I. Généralités sur les nilpotents (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 bien traitée mais erreurs graves possibles (« trace produit = produit traces »). Q2 sans difficulté hors rédaction. Q3 quasi tous candidats mais inclusion sans égalité. Q4 1ère partie classique, 2ème plus difficile à rédiger. Q5 = penser à utiliser Q4 avec absurde.
- Partie II — II. Endomorphismes de rang 1, notation a⊗x (Q6-Q7)(Q6-Q7)Niveau attendu
Q6 convenablement traitée mais notation a⊗x potentiellement déstabilisante, explique des contre-performances dans des copies de bon niveau. Nombreux points à vérifier, il en manquait souvent un ou deux. Q7 plusieurs méthodes possibles, résultat assez souvent correct.
- Partie III — III. Lemmes (trace, vecteur propre commun) (Q8-Q12)(Q8-Q12)Difficile
Notations en début de partie demandent du temps. Q8 erreur fréquente : binôme de Newton sans hypothèse de commutation. Même problème en Q9 → notes très contrastées. Q10 propriétés de la trace, rédaction précise nécessaire. Q11-Q12 peu abordées.
- Partie IV — IV. Théorème de Gerstenhaber (Q13-Q24)(Q13-Q24)Très difficile
Q13 souvent dernière abordée, SEV classique, oublis (non vide). Q15 théorème du rang évident pour ceux passés par les AL. Q16-Q19 réponses partielles, peu de grappillage. Q20-Q24 quasi pas abordées, poids très faible dans le barème, sans conséquence sur le classement.
Analyse globale du jury
« Sujet manifestement trop long, surtout pour une épreuve de trois heures, mais comme il était progressif, un barème adapté attribuant très peu de points aux dernières questions a permis d'obtenir une moyenne d'épreuve correcte et un bon étalement des notes. Les correcteurs ont été attentifs à ce que ce choix de répartition des points ne lèse personne, et il n'y a pas eu le cas d'un candidat qui aurait négligé les premières questions pour aller traiter les dernières. Une proportion non négligeable des candidats (de l'ordre de 10%) est d'un excellent niveau en algèbre abstraite. Proportion raisonnable de copies très faibles. »
Top pièges sanctionnés
« Trace d'un produit = produit des traces » (Q1)-2 pts
« La question 1, bien traitée en général, était tout de même l'occasion d'écrire des erreurs très graves, comme « la trace d'un produit est égale au produit des traces ». »
Inclusion au lieu d'égalité (Q3)-1 pts
« La question 3 a été abordée par la quasi totalité des candidats, mais les réponses étaient souvent incomplètes, se réduisant à une inclusion sans aller jusqu'à l'égalité. »
Binôme de Newton sans commutation (Q8)-2 pts
« Une erreur fréquente à la question 8 était d'appliquer la formule du binôme de Newton, alors qu'il manquait l'hypothèse de commutation. On retrouvait ce problème à la question suivante, ce qui a bien sûr entraîné des notes très contrastées. »
Brouillon non utilisé, ratures sur copie-1 pts
« Du fait de la numérisation des copies, certaines techniques de modification sont interdites, mais l'utilisation du brouillon est toujours autorisée... et même recommandée. Il n'est pas question de faire une résolution complète au brouillon puis de recopier, mais il faudrait éviter de faire figurer toutes les tentatives sur la copie en raturant les échecs. »
Plusieurs résultats à établir dans une seule question CCMP-2 pts
« Du fait de la limitation du nombre de questions, il y a souvent plusieurs résultats à établir dans une seule question, et l'expérience de la correction montre qu'il en manque fréquemment. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2020 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths I 2020
L'épreuve Maths I Mines-Ponts MP 2020, durée 3h, coefficient 4, s'est déroulée dans le cadre du concours commun Mines-Ponts (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…). Session 2020 maintenue malgré la crise COVID, avec un décalage calendaire imposé par le contexte sanitaire.
Sujet portant exclusivement sur l'algèbre, dont une grande partie ne fait appel qu'au programme de première année. Quelques questions difficiles évaluent les compétences acquises en deuxième année, « surtout au niveau de la maîtrise de l'abstraction ». L'objectif est le théorème de Gerstenhaber (1958) : pour tout sous-espace nilpotent 𝒱 ⊂ ℒ(E), dim 𝒱 ≤ n(n−1)/2, l'égalité caractérisant les matrices triangulaires supérieures strictes dans une base commune.
Pas de statistiques chiffrées. Le jury qualifie le sujet de « manifestement trop long, surtout pour une épreuve de trois heures » mais un barème adapté « a permis d'obtenir une moyenne d'épreuve correcte et un bon étalement des notes ». ~10% des candidats sont « d'un excellent niveau en algèbre abstraite », et « proportion raisonnable de copies très faibles ».
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Les parties I, II, III, IV sont largement indépendantes. Le levier différenciant est la rigueur sur les hypothèses (commutation pour le binôme, dimension finie/infinie, trace) et la capacité à aller au bout de Q3, Q4, Q8 (où le jury attend plusieurs résultats par question).
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Sécurise Q1 (sans erreur grave sur la trace), Q2 (rédaction soignée), Q3 (inclusion + égalité, pas seulement inclusion), Q4 1ère partie (classique), Q6 (notation a⊗x absorbée + tous les points vérifiés), Q7. Q13 SEV avec « non vide » explicite. 7-8 questions propres = supérieur à la médiane sur ce sujet trop long.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q4 2ème partie différenciante (rédaction). Q5 raisonnement par l'absurde fin via Q4. Q8-Q9 binôme avec hypothèse de commutation EXPLICITE. Q10 trace avec propriétés précisées. Q15 théorème du rang. Q16-Q19 si tu maîtrises Q13-Q14 par AL. Le jury : ~10% des candidats sont d'excellent niveau en algèbre abstraite, la barre est claire.
Gestion des 3h : ~45 min sur Q1-Q5 (généralités nilpotents, fondations), 30 min Q6-Q7 (a⊗x), 1h Q8-Q12 (lemmes, où la commutation paie), 45 min Q13-Q15 (Gerstenhaber par AL et théorème du rang). Le jury est explicite : « le grappillage en fin de sujet n'a quasiment pas eu lieu », sujet trop technique pour ça.
Conseils du jury
Conseils transversaux
- Trace d'un produit ≠ produit des traces : erreur grave sanctionnée à Q1. tr(AB) = tr(BA) mais ce n'est pas le produit.
- Inclusion + égalité : Q3 nécessite double inclusion explicite, pas seulement une.
- Binôme de Newton = AB = BA obligatoire (Q8, Q9). Sans commutation, formule fausse en général.
- Brouillon utilisé, copie soignée : la numérisation interdit certaines retouches, donc éviter les ratures massives. Reformuler au propre quand sûr.
- Lire la question entière avant d'y répondre : les questions CCMP demandent souvent plusieurs résultats. « Il en manque fréquemment » selon le jury.
- Pas de grappillage : sur ce sujet, les questions Q20-Q24 ont un poids très faible dans le barème. Inutile de courir après.
- Aborder et rédiger les questions dans l'ordre : recommandation explicite du jury, pour cohérence avec les notations introduites.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ