Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème établit la preuve des résultats suivants. Si φ est une fonction réelle de variable réelle définie sur un intervalle I, on définit l'image u(φ)(S) d'une matrice symétrique réelle S à valeurs propres dans I en appliquant φ à ses valeurs propres après orthodiagonalisation, et on considère la trace ν(φ)(S) de u(φ)(S). On démontre alors que : si φ est continue, alors u(φ) et v(φ) sont continues ; si φ est convexe, alors v(φ) est convexe.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Matrices de permutations (Q1-Q4)(Q1-Q4)Niveau attendu
Promenade dans une forêt de Kronecker et permutations d'éléments d'une matrice diagonale. Q1 : produit de matrices via la formule (et non élément par élément). Q4 : sens réciproque souvent malmené, manque de justification de la simplification par (σ).
- Partie II — Fonctions de matrices symétriques (Q5-Q11)(Q5-Q11)Difficile
Q5 question de cours sur le théorème spectral, peu réussie : préciser que S est symétrique réelle, ne pas confondre diagonalisable avec orthogonale. Q6 polynômes d'interpolation de Lagrange. Q11 révélateur de caractère : limites de suites de fonctions de matrices.
- Partie III — Norme et convexité (Q12-Q13)(Q12-Q13)Difficile
Théorème de Courant-Fischer, convexité de Sn(I), rayon spectral comme norme. Q12 : grave erreur d'identifier {tXSX; X∈Σ} au spectre de S — sanctionnée par zéro. Q13 : oublis fréquents des attributs d'une norme (positivité, homogénéité, caractère défini).
- Partie IV — Continuité des fonctions de matrices (Q14-Q19)(Q14-Q19)Très difficile
Q14 sur la continuité du polynôme caractéristique (raisonnements simplistes erronés). Q18 compacité de On(R) — exercice classique de MP rarement complètement réussi. Q19 continuité de u(φ) via caractérisation séquentielle et compacité de On(R).
- Partie V — Convexité des fonctions de matrices symétriques (Q20-Q22)(Q20-Q22)Très difficile
Q20 sur les éléments diagonaux des matrices orthoconjuguées : très peu de candidats avec succès, erreur fréquente de les considérer comme diagonales. Q21-Q22 traitées par certains candidats sans avoir abordé les questions précédentes.
Analyse globale du jury
« Comportements extrêmement divers face à ce sujet — entre ceux qui ont maîtrisé jusqu'à la dernière question et ceux qui n'ont pas su donner la définition d'un produit de matrices, tout l'éventail des résultats. Plus surprenant, cette distorsion est apparue au sein même de certaines copies. Frappant : le manque d'attention aux définitions données au début du problème, l'indifférence à la nécessité de justifier toutes les assertions, l'impression que leur auteur se contente de donner les grandes lignes de la démonstration. Le correcteur apprécie davantage qu'un candidat s'acharne sur les questions successives plutôt que d'essayer de glaner des points un peu partout. 6 681 copies corrigées. »
Top pièges sanctionnés
Produit de matrices effectué élément par élément (Q1)-2 pts
« Nous avons été surtout frappés par le nombre important de candidats qui effectuent le produit de matrice élément par élément, en ignorant superbement la formule qui donne ce produit. À côté de cela, sommer dans cette formule les indices de 0 à n est presque un péché véniel. »
Théorème spectral cité sans préciser que S est symétrique réelle (Q5)-2 pts
« Tout d'abord, tous les candidats n'ont pas pris la peine de préciser que la matrice S est symétrique réelle en vue d'appliquer le théorème spectral. Plusieurs ont conclu que S est diagonalisable, donc qu'il existe une matrice orthogonale Ω qui diagonalise S : une perte d'information en cours de raisonnement ne peut être récupérée par la suite sans commettre une erreur de logique. »
Identifier l'ensemble {tXSX; X∈Σ} au spectre de S (Q12)-3 pts
« Nous avons lu plusieurs fois que l'ensemble {tXSX; X∈Σ} est identique au spectre de S, ce qui méconnaît le fait que celui-ci est fini tandis que cet ensemble est généralement un segment d'intérieur non vide. […] Inutile de préciser que ce genre de propos a valu zéro pour la question aux candidats qui les ont commis. »
Continuité du polynôme caractéristique mal justifiée (Q14)-2 pts
« L'immense majorité des candidats n'ont pas compris qu'il n'y a pas de réponse simple et rapide à cette question, et ont écrit à peu de chose près : « L'application ψ qui à S associe XIn − S est continue et le déterminant est une application continue, donc par composition, χ est une application continue ». Bien sûr, ces deux raisonnements sont faux. »
Matrices orthogonales = déterminant ±1 (Q18)-2 pts
« Nous avons été très surpris du nombre de candidats pour lesquels les matrices orthogonales sont celles dont le déterminant est égal à 1 ou à −1, erreur majeure de conception sur une notion pourtant essentielle du programme. »
Valeurs propres d'un barycentre = barycentre des valeurs propres (Q13)-2 pts
« Un grand nombre d'entre eux ont affirmé que les valeurs propres d'un barycentre de deux matrices symétriques sont barycentres avec les mêmes poids des valeurs propres de ces matrices : c'eût certes été plus simple si cela avait été vrai. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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