Top piège du sujet
Produit de matrices effectué élément par élément (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème établit la preuve des résultats suivants. Si φ est une fonction réelle de variable réelle définie sur un intervalle I, on définit l'image u(φ)(S) d'une matrice symétrique réelle S à valeurs propres dans I en appliquant φ à ses valeurs propres après orthodiagonalisation, et on considère la trace ν(φ)(S) de u(φ)(S). On démontre alors que : si φ est continue, alors u(φ) et v(φ) sont continues ; si φ est convexe, alors v(φ) est convexe.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Matrices de permutations (Q1-Q4)(Q1-Q4)Niveau attendu
Promenade dans une forêt de Kronecker et permutations d'éléments d'une matrice diagonale. Q1 : produit de matrices via la formule (et non élément par élément). Q4 : sens réciproque souvent malmené, manque de justification de la simplification par (σ).
- Partie II — Fonctions de matrices symétriques (Q5-Q11)(Q5-Q11)Difficile
Q5 question de cours sur le théorème spectral, peu réussie : préciser que S est symétrique réelle, ne pas confondre diagonalisable avec orthogonale. Q6 polynômes d'interpolation de Lagrange. Q11 révélateur de caractère : limites de suites de fonctions de matrices.
- Partie III — Norme et convexité (Q12-Q13)(Q12-Q13)Difficile
Théorème de Courant-Fischer, convexité de Sn(I), rayon spectral comme norme. Q12 : grave erreur d'identifier {tXSX; X∈Σ} au spectre de S, sanctionnée par zéro. Q13 : oublis fréquents des attributs d'une norme (positivité, homogénéité, caractère défini).
- Partie IV — Continuité des fonctions de matrices (Q14-Q19)(Q14-Q19)Très difficile
Q14 sur la continuité du polynôme caractéristique (raisonnements simplistes erronés). Q18 compacité de On(R), exercice classique de MP rarement complètement réussi. Q19 continuité de u(φ) via caractérisation séquentielle et compacité de On(R).
- Partie V — Convexité des fonctions de matrices symétriques (Q20-Q22)(Q20-Q22)Très difficile
Q20 sur les éléments diagonaux des matrices orthoconjuguées : très peu de candidats avec succès, erreur fréquente de les considérer comme diagonales. Q21-Q22 traitées par certains candidats sans avoir abordé les questions précédentes.
Analyse globale du jury
« Comportements extrêmement divers face à ce sujet, entre ceux qui ont maîtrisé jusqu'à la dernière question et ceux qui n'ont pas su donner la définition d'un produit de matrices, tout l'éventail des résultats. Plus surprenant, cette distorsion est apparue au sein même de certaines copies. Frappant : le manque d'attention aux définitions données au début du problème, l'indifférence à la nécessité de justifier toutes les assertions, l'impression que leur auteur se contente de donner les grandes lignes de la démonstration. Le correcteur apprécie davantage qu'un candidat s'acharne sur les questions successives plutôt que d'essayer de glaner des points un peu partout. 6 681 copies corrigées. »
Top pièges sanctionnés
Produit de matrices effectué élément par élément (Q1)-2 pts
« Nous avons été surtout frappés par le nombre important de candidats qui effectuent le produit de matrice élément par élément, en ignorant superbement la formule qui donne ce produit. À côté de cela, sommer dans cette formule les indices de 0 à n est presque un péché véniel. »
Théorème spectral cité sans préciser que S est symétrique réelle (Q5)-2 pts
« Tout d'abord, tous les candidats n'ont pas pris la peine de préciser que la matrice S est symétrique réelle en vue d'appliquer le théorème spectral. Plusieurs ont conclu que S est diagonalisable, donc qu'il existe une matrice orthogonale Ω qui diagonalise S : une perte d'information en cours de raisonnement ne peut être récupérée par la suite sans commettre une erreur de logique. »
Identifier l'ensemble {tXSX; X∈Σ} au spectre de S (Q12)-3 pts
« Nous avons lu plusieurs fois que l'ensemble {tXSX; X∈Σ} est identique au spectre de S, ce qui méconnaît le fait que celui-ci est fini tandis que cet ensemble est généralement un segment d'intérieur non vide. […] Inutile de préciser que ce genre de propos a valu zéro pour la question aux candidats qui les ont commis. »
Continuité du polynôme caractéristique mal justifiée (Q14)-2 pts
« L'immense majorité des candidats n'ont pas compris qu'il n'y a pas de réponse simple et rapide à cette question, et ont écrit à peu de chose près : « L'application ψ qui à S associe XIn − S est continue et le déterminant est une application continue, donc par composition, χ est une application continue ». Bien sûr, ces deux raisonnements sont faux. »
Matrices orthogonales = déterminant ±1 (Q18)-2 pts
« Nous avons été très surpris du nombre de candidats pour lesquels les matrices orthogonales sont celles dont le déterminant est égal à 1 ou à −1, erreur majeure de conception sur une notion pourtant essentielle du programme. »
Valeurs propres d'un barycentre = barycentre des valeurs propres (Q13)-2 pts
« Un grand nombre d'entre eux ont affirmé que les valeurs propres d'un barycentre de deux matrices symétriques sont barycentres avec les mêmes poids des valeurs propres de ces matrices : c'eût certes été plus simple si cela avait été vrai. »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2021 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2021
L'épreuve Maths II Mines-Ponts MP 2021 s'est déroulée fin avril 2021, durée 4h, coefficient 5. 6 681 copies corrigées. Concours commun ouvrant 10 écoles d'ingénieur (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…). Session post-COVID : écrits tenus normalement.
Sujet en algèbre linéaire et topologie matricielle : continuité et convexité de fonctions de matrices symétriques. On définit u(φ)(S) en appliquant φ aux valeurs propres d'une matrice symétrique S après orthodiagonalisation, et ν(φ)(S) comme la trace de u(φ)(S). Outils mobilisés : théorème spectral, polynômes d'interpolation de Lagrange, théorème de Courant-Fischer, compacité de On(R).
Le rapport ne publie pas de statistiques (moyenne, quartiles) par épreuve. Mais le jury qualifie les comportements de candidats d'« extrêmement divers », l'éventail des résultats est très étendu, signe d'une épreuve fortement discriminante. Difficulté évaluée ★★★★★/5.
Accompagnement personnalisé
Travaillez ce sujet avec un prof de l'équipe
Nos professeurs anciens taupins (Polytechnique, ENS, Centrale) reprennent ce sujet avec toi en cours particulier — corrigé ligne par ligne, méthode, pièges évités.
Trouvez le prof qu'il vous faut
Échangez avec notre équipe pour trouver le professeur idéal selon vos besoins.
Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury 2021 le dit explicitement : « le correcteur apprécie bien davantage qu'un candidat s'acharne sur les questions successives plutôt que d'essayer de glaner des points un peu partout dans le problème ». Stratégie clé : lire intégralement les définitions en préambule (même 1,5 page) et avancer rigoureusement plutôt que de sauter en avant.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Q1-Q4 (matrices de permutations), vérifier la formule du produit matriciel (pas élément par élément), justifier la simplification par (σ). Q5-Q7 sur le théorème spectral et l'interpolation de Lagrange : préciser systématiquement « S symétrique réelle ». Q12 : NE PAS écrire {tXSX; X∈Σ} = Sp(S), zéro garanti.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q11 « révélateur de caractère » : convergence simple ET uniforme de suites u(φk) avec norme matricielle bien définie. Q14 continuité de χ comme application à valeurs dans un espace vectoriel normé de polynômes. Q18 compacité de On(R), fermé borné via t MM = In, en évitant l'erreur det = ±1. Q19-Q22 : caractérisation séquentielle + compacité.
Gestion des 4h : 30 min lecture du préambule + Q1-Q4, 1h sur Q5-Q11 (théorème spectral et fonctions de matrices), 1h Q12-Q13 (Courant-Fischer + norme rayon spectral), 1h Q14-Q19 (continuité), 30 min Q20-Q22 (convexité). Encadrer les définitions citées et justifier chaque hypothèse de théorème, la sanction est immédiate à Mines-Ponts (« toute réponse non justifiée vaut zéro »).
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Connaître le cours, à commencer par les notions fondamentales : définition d'un produit de matrices, d'une matrice orthogonale, théorème spectral, théorème de Bolzano-Weierstrass.
- Bien lire l'énoncé, y compris les définitions et notations en préambule, même si elles prennent une page et demie. La paraphrase ne rapporte aucun point.
- Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème avant application, ne pas se contenter de « en vertu du théorème spectral, S est diagonalisable » ; préciser symétrique réelle, donner la conclusion exacte.
- S'acharner sur des questions successives plutôt que glaner des points partout : le correcteur sanctionne les candidats qui « se promènent jusqu'au bout du sujet en écrivant sur chaque question quelques lignes sans logique ».
- Pas de tricherie de calcul : si le résultat obtenu n'est pas celui demandé, il faut reprendre les calculs pour trouver l'erreur, pas inventer un passage miraculeux.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ