Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet étudie la matrice de Hilbert H_n = (1/(j+k+1))_{0≤j,k≤n−1} et la majoration de son rayon spectral. Trois parties : (A) propriété de type Perron-Frobenius (H_n symétrique réelle définie positive, sous-espace propre 𝒱 associé à ρ_n de dimension 1), (B) inégalité de Hilbert ᵗXH_nX ≤ π‖X‖² via l'intégrale ∫₀^π |P(e^iθ)|² dθ, (C) opérateur intégral T_n(f)(x) = ∫₀^1 K_n(tx)f(t) dt et lien spectral avec H_n.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Propriété de Perron-Frobenius(Q1-Q5)Difficile
Q1 : H_n symétrique, défini positif via ∫₀^1 X̃² dt et nullité de X̃ entraîne X = 0 (polynôme nul). Q2 : X ∈ 𝒱 ⇔ ᵗXH_nX = ρ_n‖X‖² par diagonalisation orthogonale. Q3 : ‖|X|‖² = ‖X‖², |X₀| ∈ 𝒱. Q4 : coordonnées toutes non nulles. Q5 : dim 𝒱 = 1 par contradiction avec Q4.
- Partie II — Q6-Q8 — Inégalité de Hilbert(Q6-Q8)Difficile
Q6 : ∫₀^1 P(t)dt = ∫₀^π P(e^iθ) ie^iθ dθ — pas par changement de variable t = e^iθ (non réel !) mais par intégration terme à terme. Q7 : carré de la somme = somme des carrés (premier membre réel donc partie imaginaire nulle). Q8 : ρ_n ≤ π via Q2/Q7, croissance via Y_n = (X_n, 0)ᵀ.
- Partie III — Q9-Q11 — Opérateur intégral T_n(Q9-Q11)Très difficile
Q9 : T_n bien défini sur E (fonctions intégrables sur [0,1[), 0 valeur propre car image dim finie. Q10 : valeurs propres non nulles partagées entre T_n et H_n (réciproque : λ ≠ 0 ⇒ f = T_n(f)/λ polynomial). Q11 : v propre de T_n associé à ρ_n (coefficients > 0), u = v/φ pour φ ∈ A — peu abordée.
- Partie IV — Q12-Q20 — Études analytiques et synthèse(Q12-Q20)Très difficile
Q12 : dérivabilité de F_n via dérivation sous ∫, domination correcte (pas tⁿφ, pas tⁿφ/(1−t)²). Q13 : IPP avec limites en 1 (erreur d'énoncé sur c). Q15 : (1−t)y' = γy, y = c(1−t)^γ. Q16-Q17 : équation avec second membre, F_n explicite. Q20 : Stirling, π − 2ω_n arcsin(1/ω_n) ~ √(2 ln n / n).
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « une bonne partie des candidats s'est battue avec un sujet coriace, aux questions souvent ardues ou calculatoires, comme en témoignent les ratures qui émaillent un grand nombre de copies. Chapeau à ceux qui ont su traiter avec succès la majorité des questions du problème ». Critiques récurrentes : « la rédaction est souvent insuffisante : les propriétés utilisées ne sont pas toujours citées, et on a régulièrement vu dix ou vingt lignes de calcul sans aucune explication ni justification. Les erreurs de calcul sont courantes ». Le jury renvoie aux conseils des rapports précédents (carré d'une somme ≠ somme des carrés, etc.). »
Top pièges sanctionnés
Caractère défini de H_n : nullité de X̃(t) ne suffit pas (Q1)-2 pts
« Un argument important manquait souvent dans le caractère défini, à savoir le fait que la nullité de X̃(t) sur [0, 1] implique celle du polynôme X̃, celui-ci admettant une infinité de racines. »
Sens réciproque de Q2 : simplification illégitime-2 pts
« Nombreux sont les candidats qui ont « démontré » le sens réciproque en simplifiant par ᵗX, ou en multipliant par l'inverse de ᵗX, ou en considérant que toute matrice est régulière pour le produit, ou encore en multipliant à gauche les deux membres par X puis « simplifié » par le nombre réel XᵗX. Plus le propos est confus, plus le correcteur est à l'affût de la faille dans le raisonnement. »
Carré d'une somme majoré par somme des carrés (Q7)-2 pts
« N'était-il pas écrit dans le rapport de l'an dernier que le carré de la somme de réels n'est en général pas inférieur à la somme de leurs carrés ? Et pourtant, cela n'a pas empêché la majorité des candidats ayant abordé cette question de l'affirmer, ce qui simplifiait bien sûr la démonstration de l'inégalité demandée. »
Changement de variable t = e^iθ non réel (Q6)-2 pts
« De nombreux candidats ont « prouvé » l'égalité en effectuant le changement de variable t = e^iθ, qui a le gros inconvénient de ne pas être réel ! Et ils ont parfois osé affirmer qu'il est strictement croissant sur [0, 1] ! Il faut faire avec les outils dont on dispose, intégrer terme à terme les deux intégrales et constater que les résultats sont égaux. »
Domination de la dérivée non intégrable (Q12)-2 pts
« Là où cela se gâte vraiment, c'est dans la domination. De nombreux candidats ont majoré la dérivée, soit par tⁿφ(t), ce qui est faux, soit par tⁿφ(t)/(1−t)², ce qui est correct, mais présente le grave inconvénient de ne pas être intégrable sur ]0, 1[ ; n'en déplaise à ceux qui ont certes fait référence à la règle de Riemann, mais en l'infini, et non en une borne finie ! »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2019 · PDF officiel ↗
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