Top piège du sujet
Caractère défini de H_n : nullité de X̃(t) ne suffit pas (Q1)
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le sujet étudie la matrice de Hilbert H_n = (1/(j+k+1))_{0≤j,k≤n−1} et la majoration de son rayon spectral. Trois parties : (A) propriété de type Perron-Frobenius (H_n symétrique réelle définie positive, sous-espace propre 𝒱 associé à ρ_n de dimension 1), (B) inégalité de Hilbert ᵗXH_nX ≤ π‖X‖² via l'intégrale ∫₀^π |P(e^iθ)|² dθ, (C) opérateur intégral T_n(f)(x) = ∫₀^1 K_n(tx)f(t) dt et lien spectral avec H_n.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5, Propriété de Perron-Frobenius(Q1-Q5)Difficile
Q1 : H_n symétrique, défini positif via ∫₀^1 X̃² dt et nullité de X̃ entraîne X = 0 (polynôme nul). Q2 : X ∈ 𝒱 ⇔ ᵗXH_nX = ρ_n‖X‖² par diagonalisation orthogonale. Q3 : ‖|X|‖² = ‖X‖², |X₀| ∈ 𝒱. Q4 : coordonnées toutes non nulles. Q5 : dim 𝒱 = 1 par contradiction avec Q4.
- Partie II — Q6-Q8, Inégalité de Hilbert(Q6-Q8)Difficile
Q6 : ∫₀^1 P(t)dt = ∫₀^π P(e^iθ) ie^iθ dθ, pas par changement de variable t = e^iθ (non réel !) mais par intégration terme à terme. Q7 : carré de la somme = somme des carrés (premier membre réel donc partie imaginaire nulle). Q8 : ρ_n ≤ π via Q2/Q7, croissance via Y_n = (X_n, 0)ᵀ.
- Partie III — Q9-Q11, Opérateur intégral T_n(Q9-Q11)Très difficile
Q9 : T_n bien défini sur E (fonctions intégrables sur [0,1[), 0 valeur propre car image dim finie. Q10 : valeurs propres non nulles partagées entre T_n et H_n (réciproque : λ ≠ 0 ⇒ f = T_n(f)/λ polynomial). Q11 : v propre de T_n associé à ρ_n (coefficients > 0), u = v/φ pour φ ∈ A, peu abordée.
- Partie IV — Q12-Q20, Études analytiques et synthèse(Q12-Q20)Très difficile
Q12 : dérivabilité de F_n via dérivation sous ∫, domination correcte (pas tⁿφ, pas tⁿφ/(1−t)²). Q13 : IPP avec limites en 1 (erreur d'énoncé sur c). Q15 : (1−t)y' = γy, y = c(1−t)^γ. Q16-Q17 : équation avec second membre, F_n explicite. Q20 : Stirling, π − 2ω_n arcsin(1/ω_n) ~ √(2 ln n / n).
Analyse globale du jury
« Le jury salue : « une bonne partie des candidats s'est battue avec un sujet coriace, aux questions souvent ardues ou calculatoires, comme en témoignent les ratures qui émaillent un grand nombre de copies. Chapeau à ceux qui ont su traiter avec succès la majorité des questions du problème ». Critiques récurrentes : « la rédaction est souvent insuffisante : les propriétés utilisées ne sont pas toujours citées, et on a régulièrement vu dix ou vingt lignes de calcul sans aucune explication ni justification. Les erreurs de calcul sont courantes ». Le jury renvoie aux conseils des rapports précédents (carré d'une somme ≠ somme des carrés, etc.). »
Top pièges sanctionnés
Caractère défini de H_n : nullité de X̃(t) ne suffit pas (Q1)-2 pts
« Un argument important manquait souvent dans le caractère défini, à savoir le fait que la nullité de X̃(t) sur [0, 1] implique celle du polynôme X̃, celui-ci admettant une infinité de racines. »
Sens réciproque de Q2 : simplification illégitime-2 pts
« Nombreux sont les candidats qui ont « démontré » le sens réciproque en simplifiant par ᵗX, ou en multipliant par l'inverse de ᵗX, ou en considérant que toute matrice est régulière pour le produit, ou encore en multipliant à gauche les deux membres par X puis « simplifié » par le nombre réel XᵗX. Plus le propos est confus, plus le correcteur est à l'affût de la faille dans le raisonnement. »
Carré d'une somme majoré par somme des carrés (Q7)-2 pts
« N'était-il pas écrit dans le rapport de l'an dernier que le carré de la somme de réels n'est en général pas inférieur à la somme de leurs carrés ? Et pourtant, cela n'a pas empêché la majorité des candidats ayant abordé cette question de l'affirmer, ce qui simplifiait bien sûr la démonstration de l'inégalité demandée. »
Changement de variable t = e^iθ non réel (Q6)-2 pts
« De nombreux candidats ont « prouvé » l'égalité en effectuant le changement de variable t = e^iθ, qui a le gros inconvénient de ne pas être réel ! Et ils ont parfois osé affirmer qu'il est strictement croissant sur [0, 1] ! Il faut faire avec les outils dont on dispose, intégrer terme à terme les deux intégrales et constater que les résultats sont égaux. »
Domination de la dérivée non intégrable (Q12)-2 pts
« Là où cela se gâte vraiment, c'est dans la domination. De nombreux candidats ont majoré la dérivée, soit par tⁿφ(t), ce qui est faux, soit par tⁿφ(t)/(1−t)², ce qui est correct, mais présente le grave inconvénient de ne pas être intégrable sur ]0, 1[ ; n'en déplaise à ceux qui ont certes fait référence à la règle de Riemann, mais en l'infini, et non en une borne finie ! »
Chapitres clés à maîtriser
Bosse chaque chapitre sur d'autres sujets de concours qui le couvrent.
Source : Rapport du jury Mines-Ponts · Maths MP, session 2019 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve Maths II 2019
L'épreuve Maths II Mines-Ponts MP 2019 s'est déroulée fin avril 2019, durée 4h, coefficient 5. Concours commun Mines-Ponts (Mines Paris, Ponts ParisTech, ISAE-SupAéro, ENSTA, Télécom Paris…).
Sujet d'algèbre linéaire euclidienne intitulé « Majoration du rayon spectral de la matrice de Hilbert ». Trois parties : (A) propriété de type Perron-Frobenius, H_n symétrique réelle définie positive, sous-espace propre 𝒱 associé à ρ_n de dimension 1 (Q1-Q5) ; (B) inégalité de Hilbert ᵗXH_nX ≤ π‖X‖² via ∫₀^π |P(e^iθ)|² dθ (Q6-Q8) ; (C) opérateur intégral T_n(f)(x) = ∫₀^1 K_n(tx)f(t) dt et lien spectral avec H_n (Q9-Q20). Synthèse finale : majoration affinée de ρ_n.
Le jury salue : « une bonne partie des candidats s'est battue avec un sujet coriace, aux questions souvent ardues ou calculatoires, comme en témoignent les ratures qui émaillent un grand nombre de copies. Chapeau à ceux qui ont su traiter avec succès la majorité des questions du problème ». Difficulté évaluée ★★★★★/5.
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Stratégie
Notre approche pour ce sujet
Le jury identifie : « la rédaction est souvent insuffisante : les propriétés utilisées ne sont pas toujours citées, et on a régulièrement vu dix ou vingt lignes de calcul sans aucune explication ni justification ». Stratégie clé : citer le théorème, vérifier ses hypothèses, justifier l'étape de calcul.
Si tu vises 9-12/20 (médiane à top 25%)
Q1 : H_n symétrique évident, caractère défini positif via ∫₀^1 X̃² dt avec « X̃ = 0 ⇒ X̃ polynôme nul ». Q2 : sens direct par diagonalisation orthogonale ; sens réciproque PROPRE (pas de simplification illégitime). Q4 : « aucune coordonnée nulle » comme conséquence de la stricte positivité. Q5 : dim V = 1 par contradiction. Q9 : T_n bien défini, image dim finie ⇒ 0 valeur propre.
Si tu vises 14+ (top 10%)
Q6 : intégration terme à terme (PAS de t = e^iθ). Q7 : argument « le premier membre est réel donc partie imaginaire nulle ». Q11 : technique « lapin du chapeau » avec u = v/φ. Q12 : domination indépendante de x sur [a, 1−ε]. Q15 : (1−t)y' = γy avec conditions sur c et γ (c > 0, −1 < γ ≤ 0). Q20 : Stirling sur ω_n − 1 ~ ln(ω_n) ~ ln n / (4n).
Gestion des 4h : 1h30 sur Q1-Q8 (Perron-Frobenius + inégalité de Hilbert, points sûrs), 45 min sur Q9-Q11 (opérateur T_n), 1h sur Q12-Q17 (intégrales à paramètre, équation différentielle), 30 min sur Q18-Q20 (synthèse), 15 min de relecture. Le jury : « les questions 2 à 10, 12, 15 et 17 étaient tout à fait abordables et nécessitaient surtout de la réflexion, de la rigueur et du soin ».
Conseils du jury
Cinq conseils transversaux
- Polynôme nul = polynôme avec une infinité de racines : la nullité de X̃(t) sur [0,1] implique celle du polynôme X̃, car un polynôme non nul a au plus deg(X̃) racines.
- (Σ x_k)² ≠ Σ x_k² : le jury rappelle ce piège du rapport précédent. La majorité des candidats sur Q7 l'a quand même affirmé.
- Pas de changement de variable complexe non réel : t = e^iθ n'est pas réel, ne peut pas être un changement de variable réel. Intégrer terme à terme dans Q6.
- Fonction de domination INTÉGRABLE sur l'intervalle : pas tⁿφ(t)/(1−t)² qui diverge en 1 (règle de Riemann en BORNE FINIE, pas en l'infini).
- Équation différentielle linéaire 1er ordre = formule du cours : pas besoin de variation de la constante. Et y(t) = c(1−t)^γ avec conditions sur c et γ pour vérifier les hypothèses sur φ.
Ressources
Téléchargements
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