Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration de l'inégalité de Spijker (1992) qui améliore le théorème de Kreiss (1962) : borne sur la norme de la résolvante d'une matrice complexe M ∈ Mn(C) satisfaisant une condition de stabilité supk∈N ‖Mk‖ < +∞. La norme matricielle choisie est la norme subordonnée ‖·‖op à la norme ‖·‖2 sur Mn,1(C). Le sujet comporte 20 questions et présente l'inégalité sous forme de coefficients matriciels de Mk. Cinq parties testent à la fois l'analyse matricielle et l'analyse réelle.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie 1 — Norme d'opérateur et bornes atteintes (Q1-Q2)(Q1-Q2)Niveau attendu
Très mal traitée. Lacunes sur les espaces vectoriels normés, confusions entre norme d'une matrice et norme d'un vecteur. Q1 théorème des bornes atteintes rarement cité, continuité approximative, homogénéité absente.…
- Partie II — Partie 2 — Spectre dans le disque unité (Q3-Q4)(Q3-Q4)Niveau attendu
Q3 manque de distinction entre M (matrice), X (vecteur), λ (valeur propre) — écritures aberrantes M^k X = λ^k X^k. Q4 contre-exemples souvent produits mais sans justifications.
- Partie III — Partie 3 — Série de matrices et résolvante (Q5-Q9)(Q5-Q9)Difficile
Mieux réussie. Q5-Q6 propriété P pour les matrices diagonales puis diagonalisables. Q7 série de matrices : majoration de la norme avant convergence, pas de raisonnement sur les sommes partielles. Q8 inégalité triangulaire et série géométrique.…
- Partie IV — Partie 4 — Q10-Q12 : monotonie et signe constant(Q10-Q12)Difficile
Q10 contre-exemple t↦e^{int} ; certains s'enlisent avec cos(nt) ou sin(nt). Q11 f' ne change pas de signe — bonnes argumentations souvent. Q12 monotonie ou théorème de Rolle (preuve par l'absurde).
- Partie V — Partie 5 — Calcul d'intégrale et IPP (Q13-Q14)(Q13-Q20)Très difficile
Moins abordée. Q13 calcul de ∫|cos(u-w)| amenant en majorité à 0 alors que c'est une fonction continue positive non nulle. Q14 IPP correctement amorcée par les rares qui l'abordent.
Analyse globale du jury
« Ce sujet a permis de départager les candidats, abordant plusieurs points ou techniques du programme tout en suivant un fil conducteur intéressant. Le jury a cependant noté un nombre plus important de copies quasi-vides ou comprenant parfois plusieurs pages de calculs ne contenant aucun résultat mathématiquement exact que les années précédentes. La bonne compréhension des objets, et en particulier des normes, est essentielle pour permettre de raisonner et de démontrer convenablement. Une inégalité ne peut porter sur des nombres complexes et encore moins sur des matrices. »
Top pièges sanctionnés
Confusion ‖MX‖ ≤ ‖M‖op (Q3)-2 pts
« De nombreux candidats prouvent encore une fois qu'ils n'ont pas compris la propriété de la norme ‖·‖op. En effet, on voit souvent : pour X ∈ Mn,1(C) ‖MX‖ ≤ ‖M‖op. »
Cauchy-Schwarz invoqué à tort sur des matrices (Q1, Q2)-2 pts
« Dans le pire des cas, les candidats évoquent l'inégalité de « Cauchy-Schwarz » au même titre que l'inégalité triangulaire ou encore « Minkowski » pour prouver une inégalité sur la norme matricielle d'un produit de matrices. »
Manipulation des matrices comme des scalaires (Q7)-2 pts
« On pu lire les matrices traitées comme des scalaires : Id-M/1 ou bien M ≤ ‖M‖op. On a vu écrit |M/z^{j+1}| = ‖M‖op/|z|^{j+1} ou encore |M/z^{j+1}| = |M|/z^{j+1}. »
Convergence d'une série de matrices via majoration des sommes partielles-2 pts
« Toute majoration des sommes partielles de la série de matrices, voire même des sommes totales, ne démontrait en rien la convergence de celle-ci. »
Q9 — e^{it} < 1 et convergence normale mal comprise-1 pts
« On a pu lire e^{it} < 1 ! On voit encore beaucoup d'écritures du type ‖f(t)‖∞, laissant place au doute pour le correcteur quant à la compréhension de la notion de convergence normale. »
Q13 — intégrale de cos positive donne 0-2 pts
« Cependant, ce calcul a amené à des circonvolutions parfois surprenantes menant en majorité au résultat 0 alors qu'il s'agit d'une fonction continue positive non identiquement nulle. »
Orthographe des noms propres-1 pts
« Soulignons aussi que le jury apprécie une orthographe soignée en particulier concernant l'écriture des noms propres des mathématiciens. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
