Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'algèbre autour du théorème de Polya sur les polynômes réels à racines toutes réelles. Partant de l'observation (théorème de Rolle) que la dérivée d'un tel polynôme est encore à racines toutes réelles, on étudie les suites (γn) dites « multiplicatives au sens de Polya-Schur » : pour tout polynôme à racines réelles P = Σ ak X^k, le polynôme Σ γk ak X^k est aussi à racines réelles.…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q8 — Suites log-concaves et opérations sur les polynômes à racines réelles(Q1-Q8)Niveau attendu
Log-concavité de la suite binomiale (Q1), unimodularité (Q3), multiplicités via théorème de Rolle (Q4), polynôme réciproque (Q5), discriminants. Q5 a déçu : par négligence le degré a souvent été donné comme égal à n, quand il n'était pas nul.
- Partie II — Q9-Q14 — Polynômes caractéristiques de matrices symétriques et polynômes orthogonaux(Q9-Q14)Difficile
Q9-Q11 sur les matrices symétriques (le jury conseille de ne pas redémontrer que les valeurs propres d'une symétrique sont réelles mais d'invoquer le théorème). Q12 séparation, Q13 Gram-Schmidt, Q14 racines des polynômes orthogonaux — visiblement plus si classique, peu de réussites.
- Partie III — Q15-Q22 — Séries génératrices et formes quadratiques(Q15-Q22)Difficile
Q15 mal traitée (Bernoulli de même paramètre, indices i non définis). Q17 matrice de Vandermonde (sans utiliser la base duale hors programme). Q18-Q19 développer le carré d'une somme et positivité. Q22 souvent bien traitée par ceux qui utilisent Q4.
- Partie IV — Q23-Q31 — Théorème de Polya-Schur(Q23-Q31)Très difficile
Caractérisation des suites multiplicatives au sens de Polya-Schur. Q23 (factoriser par X^k), Q26 (reconnaître Γ((X+1)^n)), Q27 (théorème de Schur). Beaucoup de questions non abordées (sujet long).…
Analyse globale du jury
« Sujet long (31 questions) construit progressivement vers le théorème de Polya-Schur. Le jury note que les questions d'existence (Q3, Q10, Q13) posent des difficultés notamment parce que beaucoup de candidats ne commencent pas par construire l'objet dont on impose les contraintes et se contentent de phrases répétant plus ou moins l'énoncé. Un raisonnement de type Analyse-Synthèse se révèle souvent efficace. Le jury signale la proportion bien trop importante de copies où, dans les questions fermées (réponse indiquée), sont donnés à lire des arguments longs et vides de sens où la formule demandée finit par apparaître — stratégie qui n'apporte aucun point et dessert le candidat lors des questions suivantes. »
Top pièges sanctionnés
Q5 — degré faux par négligence-1 pts
« Le jury a été désagréablement surpris par les réponses à cette question pourtant très simple. Par négligence le degré a souvent été donné comme étant égal à n, quand il n'était pas nul ! »
Redémontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles (Q9)-1 pts
« Le jury conseille aux candidats de ne pas perdre inutilement du temps à redémontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles, mais simplement d'invoquer le théorème du cours. »
Manipulations sur lignes et colonnes pour calculer les valeurs propres (Q9)-1 pts
« Le jury signale par ailleurs que, conformément au théorème de Galois, des manipulations sur les lignes et colonnes ne peuvent pas, en général, permettre de calculer les valeurs propres. »
Q15 — confusion Bernoulli de même paramètre, indices non définis-1 pts
« La question a été très mal traitée, certains candidats ont pensé qu'on avait des variables de Bernoulli de même paramètre. Souvent le jury a observé des formules mentionnant un indice i non défini ce qui ne pouvait pas avoir de sens. »
Bluff dans les questions fermées-2 pts
« Le jury tient à signaler la proportion bien trop importante de copies où de manière répétée dans les questions dites fermées, où la réponse est indiquée, sont donnés à lire des arguments longs et vides de sens où la formule demandée finit par apparaitre. Cette stratégie non seulement n'apporte aucun point mais dessert au final le candidat. »
Questions d'existence — manque de construction (Q3, Q10, Q13)-2 pts
« Le jury note que les questions d'existence posent des difficultés notamment parce que beaucoup de candidats ne commencent pas par construire l'objet dont on impose les contraintes et se contentent de phrases répétant plus ou moins l'énoncé. Dans ce genre de situation, un raisonnement de type Analyse-Synthèse se révèle souvent efficace. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
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