Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration d'un résultat légèrement plus faible que l'équivalent de Hardy-Ramanujan (1918) pour le nombre pn de partitions d'un entier n : pn = O(exp(π√(2n/3))/n). La preuve repose sur l'analyse de la fonction génératrice P(z) = Σ pn z^n et la formule de Cauchy. Cinq parties (A, B, C, D, E) : développements de P(z), formule asymptotique de ln(P(e^{-t})) via Stirling et Euler-Maclaurin, calcul de la fonction génératrice via produit infini, majoration de P(z) en fonction de P(|z|),…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — Développements de P(z) (Q1-Q5)(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 série entière, plusieurs méthodes (Abel, d'Alembert) — beaucoup utilisent un logarithme complexe non identifié. Q2 dérivation formelle souvent faite mais justifications insoignées. Q3 utilisation du logarithme principal interdite.…
- Partie II — Partie B — Formule asymptotique via Stirling et Euler-Maclaurin (Q6-Q12)(Q6-Q12)Difficile
Q7 continuité sur [1,+∞[ rarement précise, valeurs absolues souvent absentes. Q8 bluff dans la première égalité. Q9 calcul de Stirling avec manipulation des équivalents. Q10 sommation L¹ ou convergence dominée. Q11 difficile, rarement complète.…
- Partie III — Partie C — Produit infini et fonction génératrice (Q13-Q18)(Q13-Q18)Très difficile
Q13 séries alternées (avec petite erreur d'énoncé sur le signe — bonus pour ceux qui l'ont signalée). Q14 lien convergence uniforme rarement perçu. Q15 rarement traitée. Q17 dénombrement, seule question hors analyse. Q18 produit de Cauchy.
- Partie IV — Parties D-E — Majoration et conclusion (Q19-)(Q19+)Très difficile
Q19 rayon 1 souvent donné mais justifications insuffisantes. Les questions suivantes n'ont reçu que peu de réponses significatives.
Analyse globale du jury
« Sujet nécessitant une solide maîtrise du programme d'analyse, qu'il couvrait assez largement : inégalités élémentaires, séries, séries entières, séries de fonctions, intégration (intégrales généralisées, convergence dominée, permutation série intégrale, continuité d'intégrale à paramètre). Le caractère fermé de la plupart des questions a conduit à un barème valorisant fortement les justifications précises. Le problème était très long, de niveau soutenu, mais abordable. Étalonnement très satisfaisant des copies. Beaucoup de candidats ont pu démontrer des qualités mathématiques. À l'inverse, un lot important de copies reflète une méconnaissance du cours et de grosses lacunes techniques. »
Top pièges sanctionnés
Logarithme complexe hors programme (Q1, Q3)-2 pts
« Pas mal de candidats utilisent, dans cette question et les suivantes, un logarithme complexe non identifié. Certains candidats utilisent le fameux « logarithme complexe », qui « trivialise » cette question et la précédente ! »
Q5 — exp non nul sur C, pas seulement positif sur R-1 pts
« La première repose sur le fait que exp ne s'annule pas sur C ; le fait qu'elle soit strictement positive sur R ne saurait suffire. »
Théorèmes d'interversion sans hypothèses précises-2 pts
« Rappelons que les théorèmes mettant en jeu une permutation non triviale de symboles (continuité d'une intégrale à paramètre, passage à la limite dans une intégrale, permutation somme-intégrale) nécessitent des hypothèses précises, qu'il faut absolument expliciter et vérifier. »
Q7 — équivalents fantaisistes, valeurs absolues oubliées-2 pts
« On remarque beaucoup de résultats asymptotiques fantaisistes (équivalents) ou non justifiés. Enfin, les indispensables valeurs absolues sont absentes de la plupart des copies. »
Q8 — bluff prétendant éviter le découpage de l'intégrale-1 pts
« C'est moins vrai de la première, qui a reçu un certain nombre de solutions prétendant éviter le découpage de l'intégrale et relevant du pur bluff. »
Q12 — hypothèse de domination mal comprise-2 pts
« Application de la continuité d'une intégrale à paramètre, très inégalement traitée, avec nécessité de préciser les choses en 0. Beaucoup de candidats ne semblent pas vraiment comprendre l'importance et la nature de l'hypothèse de domination. »
Q19 — rayon 1 sans justification suffisante-1 pts
« Le rayon 1 est donné par la plupart de ceux qui abordent cette question, mais avec des justifications le plus souvent insuffisantes. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
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FAQ
