Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet d'algèbre linéaire, probabilités et analyse. Construction d'une chaîne de Markov sur un espace fini à temps continu, puis sous condition de réversibilité, établissement de la convergence vers la mesure invariante et estimation de la vitesse de convergence en relation avec le spectre de la matrice de transition. Couverture large : produit matriciel, exponentielle de matrice (série), formule des probabilités totales, théorème spectral, projection orthogonale, séries entières.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Q1-Q5 — Produit matriciel et exponentielle de matrice(Q1-Q5)Niveau attendu
Q1 produit matriciel — moins bonnes copies écrivent (AB)[i,j] = A[i,j]*B[i,j] (faux !). Hypothèse (M1) parfois oubliée. Q2 récurrence (base n=0 oubliée). Q3 rarement réussie : K^n[i,j] = (K[i,j])^n est faux ! Q4 plutôt bien traitée.…
- Partie II — Q6-Q9 — Formule des probabilités totales et théorème spectral(Q6-Q9)Difficile
Q6 (Z1=j|Z0=i) n'est pas un événement, donc pas un système complet. Q7 formule des probabilités totales — sommation sur tous les états souvent absente. Q8 indépendance non explicitée (récompense en cas de bonne application). Q9 théorème spectral — base orthonormale souvent oubliée.
- Partie III — Q10-Q14 — Décomposition orthogonale et réversibilité(Q10-Q14)Difficile
Q10 décomposition orthogonale, noyau et projection orthogonale — insuffisance dans la grande majorité des copies. Q12 produit scalaire, démonstration du caractère défini souvent peu satisfaisante. Q13 KU = U déduit abusivement par identification. Q14 réversibilité de K indispensable.
- Partie IV — Q15-Q21 — Dérivabilité et vitesse de convergence(Q15-Q21)Très difficile
Q15 dérivabilité de la somme d'une série entière de rayon infini, le fait K^n[i,j] ≠ (K[i,j])^n est à nouveau un obstacle. Q17 maîtrise du programme d'algèbre linéaire. Q18-Q19 quasi jamais correctement traitées. Q20 réussie par ceux qui ont compris le fil conducteur.…
Analyse globale du jury
« Dans les copies les plus faibles, les correcteurs ont noté des confusions entre les matrices, les vecteurs et les scalaires ou bien entre les probabilités, les événements et les variables aléatoires. Apprendre le cours est toujours nécessaire pour réussir. Pour chaque question, les correcteurs attendent des arguments justes et précis. Mais il est fortement conseillé de les rendre courts. En effet, les candidats qui se lancent dans une rédaction trop longue ne sont pas récompensés par les correcteurs pour la longueur et se trouvent pénalisés par manque de temps pour réussir d'autres questions. »
Top pièges sanctionnés
Q1, Q3, Q5 — (AB)[i,j] = A[i,j]*B[i,j]-2 pts
« Le jury ne s'attendait pas toutefois à voir, dans les moins bonnes copies, une telle méconnaissance du produit matriciel, qui est tout de même une des opérations de base en algèbre linéaire. La relation (AB)[i,j] = A[i,j]*B[i,j] a été rencontrée très fréquemment. »
K^n[i,j] = (K[i,j])^n (faux)-2 pts
« K^n[i,j] est un coefficient de la matrice K^n et non (K[i,j])^n. Ici encore, la relation fausse (Ht Hs)[i,j] = Ht[i,j]*Hs[i,j] a été fréquemment rencontrée par les correcteurs. »
Q3 — d'Alembert appliqué à un majorant non en valeur absolue-2 pts
« Cette question a été rarement réussie. En effet, dans la majorité des copies l'identité K^n[i,j] = (K[i,j])^n (fausse !) sert de point de départ pour appliquer la règle de d'Alembert et ainsi proposer un raisonnement faux. (...) L'oubli de la valeur absolue dans cette majoration ne permet pas non plus de réussir la question. »
Q6 — (A | B) confondu avec un événement-1 pts
« En particulier, la notation (A | B) n'est pas un événement, et par conséquent (Z1 = j | Z0 = i)1≤j≤N n'est pas un système (complet) d'événements. »
Q7 — formule des probabilités totales sans sommation-2 pts
« Beaucoup de candidats ne maîtrisent visiblement pas la formule des probabilités totales : le signe de sommation sur tous les états à l'instant précédent était souvent absent. Cette question s'est assez souvent soldée par un échec. »
Q13 — colinéarité par identification-2 pts
« On note toutefois une erreur de logique beaucoup trop fréquente : de la constatation que KU = U (question 1), il est souvent déduit abusivement sans autre argument (« par identification » ???) que, si un vecteur X vérifie KX = X, alors nécessairement X = U, ou au moins que X est colinéaire à U. »
Rédactions trop longues — pénalité par manque de temps-1 pts
« Les candidats qui se lancent dans une rédaction trop longue ne sont pas récompensés par les correcteurs pour la longueur et se trouvent pénalisés par manque de temps pour réussir d'autres questions. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
