Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.73
Médiane
9.7
Écart-type
3.90
Q1 (25%)
7.1
Q3 (75%)
12.4
Candidats présents
1 429
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 4 parties autour de la fonction ζ de Riemann. Partie I calcule ζ(2), ζ(4), ζ(6) via le développement en série entière de x cotan(x). Partie II (analyse fonctionnelle) étudie l'espace M(ℕ*) des mesures de probabilités sur ℕ* avec la norme infinie et un procédé diagonal de Cantor. Partie III construit une suite de lois approchant μ_X. Partie IV démontre que la probabilité que k entiers ≤ n choisis au hasard soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k).
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Développement en série entière de x cotan(x) et valeurs de ζ(Q1-Q4)Niveau attendu
Analyse : séries numériques, séries de fonctions, séries entières, fonctions continues, formules de trigonométrie. Calcul de ζ(2), ζ(4), ζ(6) via équation fonctionnelle de cotangente. Q1a très simple, Q1c contient une subtilité sur la convergence absolue.
- Partie II — Partie II — Topologie de l'espace M(ℕ*) des mesures de probabilité(Q5-Q12)Difficile
Topologie, modes de convergence et leurs liens, procédé d'extraction diagonale de Cantor. Convergence en norme infinie ⟺ convergence ponctuelle sur les singletons (équivalence valable seulement pour des mesures de probabilité).
- Partie III — Partie III — Densité et suite de lois approchantes(Q13-Q18)Difficile
Probabilités : transfert, lien entre probabilité et espérance, étude d'événements et étude de limites de probabilités. Construction d'une suite μ_n convergeant ponctuellement vers μ_X avec support fini de nombres premiers.
- Partie IV — Partie IV — Probabilité de coprimalité et 1/ζ(k)(Q19-Q21)Très difficile
Compétences en arithmétique (décomposition en produit de nombres premiers), probabilités (calculs, limites, …) et savoir réutiliser opportunément les résultats des parties précédentes. Conclusion : probabilité que k entiers ≤ n choisis au hasard soient premiers entre eux → 1/ζ(k).
Analyse globale du jury
« Sujet portant sur des points importants du programme MP. Le jury constate une nette baisse du niveau moyen des copies — le bon usage de notions de base (limite, équivalent, continuité, quantificateur) suffit à faire la différence. Le sujet en lui-même n'était pas particulièrement difficile ou original. Les conséquences de la crise sanitaire sur la formation des candidats pourraient être une explication conjoncturelle. Stratégie recommandée : traiter correctement plusieurs questions consécutives plutôt que survoler ; réussir 5a, 10b donnerait les clés des Parties I et II. Moyenne candidats français : 9,73/20 (σ=3,90) sur 1429 ; internationaux : 8,41/20 (σ=3,93) sur 456. »
Top pièges sanctionnés
Manipuler les termes généraux des séries (Q1b, 1c, 2b) sans justifier les opérations-2 pts
« Trop de candidats ont manipulé les termes généraux des séries dans les questions 1b, 1c et 2b sans apporter de justification satisfaisante à ces opérations. »
Pas de majoration sur un compact, problèmes aux bornes, majorations uniformes mal posées (Q1d)-2 pts
« La question 1d a été généralement mal traitée : pas de majoration sur un compact, problèmes aux bornes avec les majorations uniformes… »
Sommabilité double mal calculée (Q5a)-2 pts
« Les calculs de sommabilité double comme ceux de la question 5a. »
Manipulation des séries entières mal maîtrisée (Q6, 7a, 7b)-2 pts
« La manipulation des séries entières aux questions 6, 7a et 7b. »
Doubles passages à la limite mal justifiés (Q12d)-2 pts
« Les doubles passages à la limite comme aux questions 12d. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
