Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.66
Médiane
9.7
Écart-type
3.79
Q1 (25%)
7.1
Q3 (75%)
12.2
Candidats présents
2 016
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 4 parties autour du théorème de Floquet (1883) pour les EDL périodiques. Partie I (indépendante) : cas n=2 voilé via y''+qy=0 avec q T-périodique, démontre Floquet dans ce cas. Partie II : démonstration originale du théorème d'inversion locale via minimisation et compacité. Partie III : surjectivité de l'exponentielle matricielle exp:M_n(ℂ)→GL_n(ℂ) par connexité + TIL. Partie IV : preuve du théorème 1 (Floquet) et application au théorème 2 (existence solutions…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Cas particulier n=2 (Floquet voilé via y''+qy=0)(Q1-Q4)Niveau attendu
Existence et unicité de solutions y₁, y₂ vérifiant des conditions initiales données. Wronskien constant. Q4a démontre Floquet pour ce cas. Q4b traite le théorème 2. Indépendante des autres parties.
- Partie II — Partie II — Théorème d'inversion locale (TIL) par compacité(Q5-Q10)Difficile
Démonstration originale du TIL : préimage d'un point y₀ obtenue en minimisant ‖y₀ − f(x)‖². Utilise compacité, critère différentiel d'extremum, inégalité des accroissements finis. f|_V en réalité un C¹-difféomorphisme (non demandé). Q3, 6a, 7b clés pour la suite.
- Partie III — Partie III — Surjectivité de exp:M_n(ℂ)→GL_n(ℂ)(Q11-Q15)Très difficile
Démonstration que exp surjective sur GL_n(ℂ) par argument de connexité utilisant le TIL. Astuce : montrer d'abord que exp_A : ℂ[A] → ℂ[A]∩GL_n(ℂ) est surjective (commutativité ⇒ exp_A(M+N)=exp_A(M)·exp_A(N)). Caractère C¹ de exp_A (Q11b). Structures de groupes topologiques.
- Partie IV — Partie IV — Théorème de Floquet (preuve générale) et solutions périodiques(Q16-Q22)Très difficile
Démonstration du théorème 1 (Floquet) via la surjectivité (Partie III) + décomposition de Chevalley-Dunford. Base de solutions périodiques × exponentielle × polynôme. Théorème 2 démontré à Q20. Cas inhomogène (avec second membre) Q21. Exemple n=2 avec matrices A(t) commutant deux à deux (Q22).
Analyse globale du jury
« Sujet sur les EDL périodiques et le théorème de Floquet (1883). Sujet balayant largement le programme : EDO, calcul différentiel, réduction, exponentielle matricielle. Questions de simple vérification (1a, 1b, 2, 8a) cohabitent avec questions demandant hauteur de vue et prise d'initiative (3, 4a, 6a, 8b, 11a, 11b, 15). Maintien du niveau des candidats par rapport aux années antérieures. Sujet plus original mais pas plus difficile. Bon nombre de copies rédigées de manière convenable. MP : 2016 copies, moyenne françaises 9,66/20 (σ=3,79). MPI : 286 copies, 9,09/20 (σ=3,65). Toutes nationalités MP : 9,14/20 (σ=3,92). »
Top pièges sanctionnés
Survoler le sujet en grappillant les points faciles-3 pts
« Il est préférable de s'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties et de tenter de « grappiller » des points sur les questions les plus faciles. Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est forcément vouée à l'échec. »
Sauter une question sans vérifier les hypothèses du résultat utilisé plus tard-1 pts
« Il est en revanche tout à fait autorisé de 'sauter' une question que l'on ne serait pas parvenu à résoudre, puis d'en utiliser le résultat plus tard. Il faut alors veiller à ne pas oublier de vérifier soigneusement toutes les hypothèses requises pour appliquer ces 'boîtes noires'. »
Oublier les vérifications triviales (Q8a) — cumul de points perdus par exhaustivité-1 pts
« L'usage d'un brouillon est indispensable afin de ne présenter sur sa copie que les étapes essentielles d'un raisonnement ou d'un calcul et de ne pas y faire figurer des arguments faux ou trop incomplets. Rajoutons que même les vérifications triviales (comme celles de la q. 8a) doivent être évoquées, même rapidement, par souci d'exhaustivité. »
Copies illisibles — graphie microscopique → points non attribués-2 pts
« Nous rencontrons trop de copies remplies de ratures et/ou parfaitement illisibles du fait d'une graphie microscopique et/ou indéchiffrable. Dans les cas où malgré tous nos efforts de déchiffrage, certaines parties du texte restent incompréhensibles pour le correcteur, et dans le doute, les points ne sont pas attribués. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
