Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.25
Médiane
9.3
Écart-type
3.85
Q1 (25%)
6.7
Q3 (75%)
11.8
Candidats présents
1 859
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 3 parties démontrant un théorème de réduction en famille (diagonalisation simultanée) pour des matrices symétriques réelles dont les coefficients sont DSE sur ]−ρ,ρ[. Partie I : étude de l'anneau D_ρ(ℝ) des fonctions DSE — norme d'algèbre, complétude, inversibilité locale, intégrité. Partie II : racines d'une famille DSE de polynômes — division euclidienne dans D_ρ(ℝ)[X], existence d'une factorisation, racine carrée d'une fonction DSE positive. Partie III : preuve…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Anneau D_ρ(ℝ) des fonctions DSE(Q1-Q7)Niveau attendu
Stabilité par somme et produit (produit de Cauchy, convergence absolue). Norme d'algèbre ‖·‖_r. Complétude de (D_ρ(ℝ), ‖·‖_r). Inversibilité locale d'une fonction DSE ne s'annulant pas en l'origine. Intégrité. Q1-Q4 « faciles ». Q5-Q6 plus difficiles, donnaient les clés de la suite.
- Partie II — Partie II — Racines d'une famille DSE de polynômes(Q8-Q16)Difficile
Norme d'algèbre sur D_ρ(ℝ)[X]. Division euclidienne dans D_ρ(ℝ)[X] par les polynômes unitaires. Continuité de la division. Théorème : si P unitaire a une racine λ de multiplicité d en t=0, P se factorise en FG avec F=(X−λ)^d en t=0 — sur un voisinage. Construction par récurrence/limite (F_n) → F....
- Partie III — Partie III — Théorème de réduction en famille(Q20-Q26)Très difficile
Preuve par récurrence sur la taille n. Diagonaliser M par blocs via familles DSE de matrices orthogonales : application du théorème 1 sur les polynômes caractéristiques + inverse d'une famille DSE de matrices inversibles (Cramer) + théorème de Gram-Schmidt en famille (utilisant la racine carrée D...
Analyse globale du jury
« Sujet démontrant un théorème de réduction en famille pour matrices symétriques réelles à coefficients DSE. Pour avoir une note correcte, il est demandé de bien réussir les questions « difficiles » (6a-7, 11-16, 20-26) — corps principal du sujet. La rédaction exclusive de réponses aux questions « faciles » (1-4, 8a-9b, 10) ne sera jamais suffisante pour une note satisfaisante. Légère baisse du niveau des candidats faibles (s'expliquerait par un grand nombre d'inscrits dont le niveau serait insuffisant pour prétendre à concourir). Maintien du bon niveau pour les admissibles. MP : 1859 copies, moyenne 9,25/20, σ=3,85. MPI : 251 copies, moyenne 9,21/20, σ=4,04. »
Top pièges sanctionnés
Démontrer l'absolue convergence des séries inutilement (révèle une fragilité)-1 pts
« La plupart des candidats démontrent des choses inutiles comme des résultats d'absolue convergence qui révèlent ainsi une fragilité qui ne fut pas pénalisée par le barème à ce stade. »
Oublier la convergence absolue pour produit de Cauchy (Q2)-2 pts
« Pour la stabilité de D_ρ(ℝ) par produit, nous devons aussi utiliser le produit de Cauchy pour les séries numériques absolument convergentes. L'absence de mention de nécessité de la convergence absolue a été pénalisée par le barème. »
Survoler le sujet en grappillant les questions faciles-3 pts
« Il est préférable de s'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions plus difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties et de tenter de « grappiller » des points sur les questions les plus faciles. Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est forcément vouée à l'échec. »
Sauter une question puis utiliser le résultat sans vérifier les hypothèses (« boîtes noires »)-1 pts
« Il est par contre tout à fait autorisé de « sauter » une question que l'on ne serait pas parvenu pas à résoudre, puis d'en utiliser le résultat plus tard. Il faut alors veiller à ne pas oublier de vérifier soigneusement toutes les hypothèses requises pour appliquer ces « boîtes noires ». »
Brouillon manquant — calculs faux dans la copie au lieu d'étapes essentielles-1 pts
« L'usage d'un brouillon est indispensable afin de ne présenter sur sa copie que les étapes essentielles d'un raisonnement ou d'un calcul et de ne pas y faire figurer des arguments faux ou trop incomplets. Rajoutons que même les vérifications triviales (comme la positivité d'une norme) doivent être évoquées, même rapidement, par soucis d'exhaustivité. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
