Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
9.84
Médiane
9.8
Écart-type
3.71
Q1 (25%)
7.3
Q3 (75%)
12.3
Candidats présents
2 015
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Sujet en 4 parties largement indépendantes balayant le programme MP-MPSI. Partie I : interpolation de fonctions C^∞ avec multiplicités kᵢ aux points tᵢ — généralisation Lagrange via produit P(X)=∏(X−tᵢ)^kᵢ. Partie II : produit scalaire à poids ⟨P,Q⟩_f = ∫P(t)Q(t)f(t)dt, base orthogonale échelonnée. Partie III : produit scalaire (1−x²)^(λ−1/2), construction de base via DSE de la fonction génératrice F_λ(x,r)=(1−2rx+r²)^(−λ) (polynômes de Gegenbauer). Partie IV : fonctions de…
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Interpolation polynomiale avec multiplicités(Q1-Q?)Niveau attendu
Théorème de Rolle, formule de Taylor avec reste intégral, théorème de convergence dominée, algèbre linéaire (injectif=surjectif en dim finie), arithmétique des polynômes. Construction d'un polynôme H(f,P) de degré strict inférieur à Σkᵢ tel que H^(k)(tᵢ)=f^(k)(tᵢ). Conclusion : si f absolument mo...
- Partie II — Partie II — Bases orthogonales échelonnées dans (E, ⟨·,·⟩_f)(Q3-Q?)Difficile
Espace euclidien E=ℝ_n[X] muni de produit scalaire à poids ∫P(t)Q(t)f(t)dt. Construction d'une base échelonnée (a₀,…,a_n) avec coordonnées de D strictement positives. Construction inductive subtile passant par bases échelonnées dans ℝ_{n−j−1}[X] pour produit modifié ⟨·,·⟩_{ff_j}. Gram-Schmidt, po...
- Partie III — Partie III — Polynômes de Gegenbauer via fonction génératrice(Q?-Q?)Très difficile
λ>1/2, f(x)=(1−x²)^(λ−1/2). Construction d'une base orthogonale via DSE en r de F_λ(x,r)=(1−2rx+r²)^(−λ). Manipulation séries entières, rayon de convergence, substitutions, lemme de Schwarz pour fonctions de 2 variables, intégration par parties.
- Partie IV — Partie IV — Fonctions de type positif en dimension N(Q?-Q?)Très difficile
Cône des matrices symétriques positives, stabilité par produit de Hadamard ⊙ (Schur). Polynômes de Tchebychev de type positif en dimension 2. Construction de fonctions de type positif en chaque dimension N. Théorème spectral, ingéniosité.
Analyse globale du jury
« Sujet sur quelques problèmes classiques d'approximation : polynômes interpolants, polynômes orthogonaux, fonctions absolument monotones, fonctions de type positif. 4 parties largement indépendantes balayant largement le programme MP-MPSI. Préférable de traiter correctement plusieurs questions consécutives plutôt que survoler. Phénomène inquiétant : soin apporté à l'écriture et présentation trop souvent insuffisant et s'aggravant. Trop de copies illisibles → points non attribués. Le jury annonce qu'un quota de points sera désormais réservé pour la rédaction et le soin. Stress : conseil d'évacuer le stress en traitant plusieurs questions au brouillon avant le propre. Stats globales toutes nat. : MP 9,52/20 (σ=3,81, n=2015). Français MP : 9,84/20 (σ=3,71). MPI : 9,34/20… »
Top pièges sanctionnés
Survoler le sujet en grappillant les questions faciles-3 pts
« Il est préférable de s'attacher à traiter correctement plusieurs questions consécutives et parmi elles des questions difficiles, plutôt que d'essayer de survoler toutes les parties et de tenter de 'grappiller' des points sur les questions faciles. Le barème est établi de sorte qu'une telle stratégie est finalement peu rentable. »
Sauter une question puis utiliser le résultat sans vérifier les hypothèses-1 pts
« Il est par contre tout à fait autorisé de 'sauter' une question que l'on ne serait pas parvenu à résoudre, puis d'en utiliser le résultat dans la suite. Il faut alors veiller à ne pas oublier de vérifier soigneusement toutes les hypothèses requises pour appliquer ces 'boîtes noires'. »
Copies illisibles, ratures, graphie microscopique → points non attribués-3 pts
« Le soin apporté à l'écriture et la présentation est trop souvent insuffisant et c'est un phénomène qui semble s'aggraver. Cela peut parfois poser un réel problème aux correcteurs. Nous rencontrons trop de copies remplies de ratures ou parfaitement illisibles du fait d'une graphie microscopique ou indéchiffrable. Dans les cas où, malgré tous nos efforts, certaines parties du texte restent incompréhensibles, les points ne sont pas attribués. »
Rédaction très lourde dans Q1a-2b puis arguments sommaires en fin de copie-2 pts
« On constate, surtout dans les premières questions du sujet (cf. les questions 1a-2b) une rédaction très lourde, et à la fin des copies, au contraire, des arguments sommaires jetés 'au petit bonheur la chance'. »
Vérifications triviales (bilinéarité du produit scalaire) omises-1 pts
« Ajoutons que même les vérifications triviales (par exemple, la condition de bilinéarité dans la définition d'un produit scalaire) doivent être évoquées, rapidement, ne serait-ce que pour montrer que les définitions sont bien connues et assimilées par le candidat. »
Chapitres clés à maîtriser
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ
