Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème proposé portait sur les matrices stochastiques. Il s'agissait essentiellement d'un problème portant sur l'algèbre linéaire et les probabilités. Partie I : introduction dans le cas d'ordre deux avec calculs simples (puissance d'une matrice 2×2 et probabilités conditionnelles). Partie II : cadre général des matrices stochastiques. Partie III : exemple. Partie IV : limite d'une suite de puissances de matrices stochastiques.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I — Cas d'ordre 2Abordable
Calcul de puissance d'une matrice carrée 2×2 et probabilités conditionnelles.
- Partie II — Partie II — Matrices stochastiques (cadre général)Niveau attendu
Définitions, propriétés algébriques.
- Partie III — Partie III — Exemple concretNiveau attendu
Application à un cas particulier de matrice stochastique.
- Partie IV — Partie IV — Limite de la suite des puissancesDifficile
Étude de la limite d'une suite de puissances de matrices stochastiques.
Analyse globale du jury
« On note avec plaisir la présence d'un nombre non négligeable d'excellentes copies, aussi bien du point de vue du contenu que de la rédaction. On ne peut que s'inquiéter du niveau trop faible de beaucoup d'autres. D'une manière générale, les résultats faibles semblent dus à un grand manque de maîtrise de l'algèbre linéaire et, plus prosaïquement, à un manque de maîtrise presque total du calcul. Le nombre croissant de copies quasi vides est regrettable. »
Top pièges sanctionnés
Q3. Beaucoup ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β) — choix de la récurrence sans diagonalisation = perte de temps.-2 pts
« Dans Q3, beaucoup de candidats ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β) et se contentent d'écrire A(α, β)^n = P D^n P^{-1}, ce qui est évidemment pénalisant. Certaines copies proposent un calcul par récurrence sans passer par la diagonalisation : ce choix se révèle entraîner assez souvent une perte de temps significative. »
Q5-Q7 peu abordées — paraphrase de l'énoncé pour Q5, minorant non démontré, Q6 inégalité pas justifiée.-2 pts
« Les questions 5 et 7 n'ont été bien traitées que dans de rares cas. De trop nombreux candidats se contentent simplement de paraphraser l'énoncé pour justifier la première égalité de Q5. L'obtention du minorant dans Q5 a été faite par une infime minorité. L'inégalité de Q6 n'est pas toujours justifiée. »
Erreurs de calculs dès le début, dénominateurs susceptibles de s'annuler oubliés, modules omis dans des inégalités.-2 pts
« On peut malheureusement remarquer que, dès le début de l'épreuve, pas mal d'erreurs de calculs, oubli des modules dans des inégalités, présence de dénominateurs susceptibles de s'annuler, voire une incapacité à diagonaliser une matrice élémentaire sont présents dans un nombre significatif de copies. »
Source : Rapport du jury CCINP · Maths PSI, session 2016 · PDF officiel ↗
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