Top piège du sujet
Q3. Beaucoup ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β), choix de la récurrence sans diagonalisation = perte de temps.
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Le problème proposé portait sur les matrices stochastiques. Il s'agissait essentiellement d'un problème portant sur l'algèbre linéaire et les probabilités. Partie I : introduction dans le cas d'ordre deux avec calculs simples (puissance d'une matrice 2×2 et probabilités conditionnelles). Partie II : cadre général des matrices stochastiques. Partie III : exemple. Partie IV : limite d'une suite de puissances de matrices stochastiques.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie I, Cas d'ordre 2Abordable
Calcul de puissance d'une matrice carrée 2×2 et probabilités conditionnelles.
- Partie II — Partie II, Matrices stochastiques (cadre général)Niveau attendu
Définitions, propriétés algébriques.
- Partie III — Partie III, Exemple concretNiveau attendu
Application à un cas particulier de matrice stochastique.
- Partie IV — Partie IV, Limite de la suite des puissancesDifficile
Étude de la limite d'une suite de puissances de matrices stochastiques.
Analyse globale du jury
« On note avec plaisir la présence d'un nombre non négligeable d'excellentes copies, aussi bien du point de vue du contenu que de la rédaction. On ne peut que s'inquiéter du niveau trop faible de beaucoup d'autres. D'une manière générale, les résultats faibles semblent dus à un grand manque de maîtrise de l'algèbre linéaire et, plus prosaïquement, à un manque de maîtrise presque total du calcul. Le nombre croissant de copies quasi vides est regrettable. »
Top pièges sanctionnés
Q3. Beaucoup ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β), choix de la récurrence sans diagonalisation = perte de temps.-2 pts
« Dans Q3, beaucoup de candidats ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β) et se contentent d'écrire A(α, β)^n = P D^n P^{-1}, ce qui est évidemment pénalisant. Certaines copies proposent un calcul par récurrence sans passer par la diagonalisation : ce choix se révèle entraîner assez souvent une perte de temps significative. »
Q5-Q7 peu abordées, paraphrase de l'énoncé pour Q5, minorant non démontré, Q6 inégalité pas justifiée.-2 pts
« Les questions 5 et 7 n'ont été bien traitées que dans de rares cas. De trop nombreux candidats se contentent simplement de paraphraser l'énoncé pour justifier la première égalité de Q5. L'obtention du minorant dans Q5 a été faite par une infime minorité. L'inégalité de Q6 n'est pas toujours justifiée. »
Erreurs de calculs dès le début, dénominateurs susceptibles de s'annuler oubliés, modules omis dans des inégalités.-2 pts
« On peut malheureusement remarquer que, dès le début de l'épreuve, pas mal d'erreurs de calculs, oubli des modules dans des inégalités, présence de dénominateurs susceptibles de s'annuler, voire une incapacité à diagonaliser une matrice élémentaire sont présents dans un nombre significatif de copies. »
Source : Rapport du jury CCINP · Maths PSI, session 2016 · PDF officiel ↗
Contexte
L'épreuve en quelques chiffres
L'épreuve Mathématiques CCINP PSI 2016 s'est déroulée fin avril 2016, en 4h, coefficient 9. Problème unique en 4 parties sur les matrices stochastiques.
Thèmes attendus : diagonalisation, calcul des puissances d'une matrice, matrices stochastiques, probabilités conditionnelles, étude de suites de matrices.
Stratégie
Notre approche pour ce sujet
- Diagonaliser et calculer explicitement les puissances : pas se contenter de "PDⁿP⁻¹". Quand le sujet demande la puissance, donner les coefficients.
- Justifier les inégalités, ne pas paraphraser l'énoncé.
- Vérifier les calculs dès le début, un dénominateur qui peut s'annuler doit être discuté.
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Conseils du jury
Trois conseils transversaux
- Maîtrise du calcul : rappel du jury, « les résultats faibles semblent dus à un grand manque de maîtrise de l'algèbre linéaire et, plus prosaïquement, à un manque de maîtrise presque total du calcul ».
- Présentation : « Les correcteurs ont apprécié les copies bien présentées, où les résultats apparaissent clairement en fin d'une justification bien construite et complète ».
- Pas de paraphrase : justifier les inégalités proprement, ne pas se contenter de réécrire l'énoncé.
Structure du sujet
4 parties pour Maths 2016
Partie 1
AccessiblePartie I, Cas d'ordre 2
Calcul de puissance d'une matrice carrée 2×2 et probabilités conditionnelles.
Partie 2
Difficulté moyennePartie II, Matrices stochastiques · cadre général
Définitions, propriétés algébriques.
Partie 3
Difficulté moyennePartie III, Exemple concret
Application à un cas particulier de matrice stochastique.
Partie 4
DifficilePartie IV, Limite de la suite des puissances
Étude de la limite d'une suite de puissances de matrices stochastiques.
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Analyse globale
Ce que le jury retient de la session
« On note avec plaisir la présence d'un nombre non négligeable d'excellentes copies, aussi bien du point de vue du contenu que de la rédaction. On ne peut que s'inquiéter du niveau trop faible de beaucoup d'autres. D'une manière générale, les résultats faibles semblent dus à un grand manque de maîtrise de l'algèbre linéaire et, plus prosaïquement, à un manque de maîtrise presque total du calcul. Le nombre croissant de copies quasi vides est regrettable. »
— Rapport du jury, CCINP 2016
Pièges du jury
3 pièges qui coûtent des points
Q3. Beaucoup ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β), choix de la récurrence sans diagonalisation = perte de temps.
-2 pts« Dans Q3, beaucoup de candidats ne calculent pas explicitement les puissances de A(α, β) et se contentent d'écrire A(α, β)^n = P D^n P^, ce qui est évidemment pénalisant. Certaines copies proposent un calcul par récurrence sans passer par la diagonalisation : ce choix se révèle entraîner assez souvent une perte de temps significative. »
Q5-Q7 peu abordées, paraphrase de l'énoncé pour Q5, minorant non démontré, Q6 inégalité pas justifiée.
-2 pts« Les questions 5 et 7 n'ont été bien traitées que dans de rares cas. De trop nombreux candidats se contentent simplement de paraphraser l'énoncé pour justifier la première égalité de Q5. L'obtention du minorant dans Q5 a été faite par une infime minorité. L'inégalité de Q6 n'est pas toujours justifiée. »
Erreurs de calculs dès le début, dénominateurs susceptibles de s'annuler oubliés, modules omis dans des inégalités.
-2 pts« On peut malheureusement remarquer que, dès le début de l'épreuve, pas mal d'erreurs de calculs, oubli des modules dans des inégalités, présence de dénominateurs susceptibles de s'annuler, voire une incapacité à diagonaliser une matrice élémentaire sont présents dans un nombre significatif de copies. »
Méthode Hadamard
4 leviers pour gagner des points
Nos profs Hadamard, anciens taupins admis à Polytechnique, aux ENS, à CentraleSupélec, Mines Paris ou Ponts ParisTech, ont tous passé ce type d'épreuve. Voici les leviers concrets qu'ils transmettent à leurs élèves pour Maths CCINP PSI.
Levier 1
Gestion du temps
4h d'épreuve, coefficient 9. Réserver 10-15 min de lecture intégrale, traiter les questions accessibles en priorité, garder 15-20 min de relecture finale. Sur CCINP, une réponse partielle bien rédigée vaut mieux qu'un brouillon complet illisible.
Levier 2
Hypothèses des théorèmes
Citer un théorème ne suffit pas, vérifier explicitement chaque hypothèse (continuité, intégrabilité, dimension finie, hypothèses de domination). C'est la différence entre la moyenne et le top 10% sur CCINP.
Levier 3
Présentation de la copie
Numéroter les questions cohéremment, encadrer ou souligner les résultats, écriture lisible (pas de stylo qui bave, pas d'écriture minuscule). Le rapport CCINP insiste : aucun bénéfice du doute n'est accordé sur une copie illisible.
Levier 4
Progression par paliers
Le sujet 2016 se décompose en 4 parties. Sécuriser entièrement la première avant de passer à la suivante : un palier propre rapporte plus que trois paliers bâclés. Les questions de cours et applications directes sont à viser à 100%.
Ressources
Téléchargements
Sujet officiel, corrigé Hadamard et rapport jury — tout en un endroit.
FAQ