Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
5.94
Médiane
5.0
Écart-type
3.53
Q1 (25%)
3.5
Q3 (75%)
8.0
Candidats présents
1 465
sur 2 170 inscrits · 32.5% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration d'un cas particulier du théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass : si a₁,...,aᵣ ∈ Q sont rationnels distincts, alors eᵃ¹,...,eᵃʳ sont linéairement indépendants sur Q. Suit l'article de Beukers, Bézivin et Robba (American Mathematical Monthly, 1990). 7 parties indépendantes, 45 questions au total. Conséquences : irrationalité de log(a) pour a rationnel positif différent de 1, transcendance de eᵃ pour a rationnel non nul.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie A — Conséquences du théorème(Q1-Q2)Niveau attendu
Familiarisation avec le théorème : irrationalité de log(a), transcendance de eᵃ pour a rationnel non nul. 2 questions. Une réponse claire et concise à Q1 annonçait les bonnes copies.
- Partie II — Partie B — Séries entières de fractions rationnelles(Q3-Q10)Difficile
8 questions sur les développements en série entière des fractions rationnelles à coefficients rationnels. Q4 bien réussie, Q7 préparatoire à l'intégralité, Q9 sur primitives, Q10 difficile (utiliser le petit théorème de Fermat) abordée seulement par les meilleures.
- Partie III — Partie C — Opérateurs différentiels(Q11-Q17)Très difficile
7 questions sur l'action des opérateurs différentiels sur les séries entières. Équivalence : être solution d'une EDO ⇔ coefficients satisfaisant une récurrence linéaire à coefficients polynomiaux. Q15 utilise l'opérateur θ = x·d/dx (astuce diabolique).
- Partie IV — Partie D — Stratégie générale(Q18-Q23)Très difficile
6 questions présentant la stratégie : si Σbᵢeᵃⁱ = 0, alors une certaine série v(x) = Σvₙxⁿ doit être le développement d'une fraction rationnelle. Transformée de Laplace et pôles utilisés en Q18-22 pour aboutir à la contradiction (pôles d'ordre simple vs ordre 2).
- Partie V — Partie E — Arithmétique des coefficients vₙ(Q24-Q33)Très difficile
10 questions. Étude fine de l'arithmétique des coefficients vₙ. Q25 bien résolue (Dⁿuₙ ∈ Z). Q26 mal comprise (utiliser l'annulation de Σbᵢeᵃⁱ). Q33 lien avec intégrales (preuves classiques).
- Partie VI — Partie F — Fin de la démonstration(Q34-Q36)Très difficile
Très courte partie de synthèse, 3 questions. Récolte des inégalités pour conclure la rationalité de v et donc le théorème. Q35 (k₀ tel que k! > c₂(AD)¹⁰ᵏʳCᵏ) extrêmement peu réussie.
- Partie VII — Partie G — Fonctions E et application(Q37-Q45)Très difficile
9 questions sur les fonctions E à coefficients rationnels (généralisation des polynômes exponentiels). Caractérisation, exemple de la fonction de Bessel J₀. Q44 difficile, Q45 dernière question (lien avec méthode d'André pour Siegel-Shidlovskii).
Analyse globale du jury
« Sur 2170 inscrits, 1465 ont composé. Moyenne 5,94/20, écart-type 3,53. Sujet particulièrement long (45 questions, 7 parties), demandant un effort de recherche et de réflexion : les applications classiques du programme étaient rares. Défaut généralisé : manque de propreté des copies. Une proportion significative présentait une écriture difficilement lisible et peu soignée. Le jury rappelle qu'il n'était pas nécessaire de tout traiter pour avoir une excellente note. Concepteur : Javier Fresán. »
Top pièges sanctionnés
Argumenter qu'une série n'est pas globalement bornée par croissance non bornée-2 pts
« Une petite quantité de copies (mais non négligeable !) a essayé de dire que la série Σxⁿ² n'est pas globalement bornée. »
Supposer EDO ordre 1 = récurrence longueur 1-2 pts
« Une erreur très fréquente a été de supposer que l'existence d'une équation différentielle d'ordre 1 se traduisait en une relation de récurrence de longueur 1, c'est-à-dire de la forme S0(n)cn + S1(n)cn+1. »
Implication évidente uniquement-1 pts
« Beaucoup de copies ont voulu gratter des points en démontrant l'implication évidente. Pour obtenir l'autre, il fallait se rappeler de la question 21 [...]. »
Manque de propreté et lisibilité-1 pts
« Un défaut généralisé mérite d'être mentionné : le manque de propreté des copies. Une proportion significative des copies avaient une écriture difficilement lisible et très peu soignée. »
Refaire à zéro au lieu d'utiliser les questions précédentes-2 pts
« Beaucoup de copies ont perdu du temps en refaisant les calculs de la question 4, ce qui n'était pas nécessaire une fois que l'on connaissait l'existence d'un inverse de Q. »
Stabilité par produit / somme + EDO non démontrée-3 pts
« Beaucoup de copies ont gratté des points en répondant à la partie facile, à savoir que les coefficients de f + g et de f g satisfont aux conditions de croissance dans la définition de fonction E et ont passé sous silence la partie intéressante de la question, à savoir qu'être solution d'une équation différentielle est stable par somme et produit. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2024 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
