Statistiques jury
Comment les candidats s'en sont sortis
Notes brutes officielles publiées par le jury — non harmonisées.
Moyenne
5.91
Médiane
5.3
Écart-type
3.89
Q1 (25%)
3.5
Q3 (75%)
8.0
Candidats présents
1 540
sur 2 362 inscrits · 34.8% d'absents
Analyse
Ce qu'a observé le jury
Synthèse Hadamard du rapport officiel — citations, chiffres et conseils du jury.
Présentation du sujet
Démonstration de la formule de Brion (1988) qui exprime une somme de monômes indexée par les points entiers d'un polytope à l'aide d'une fraction rationnelle — généralisation en dimension supérieure de la formule de la somme géométrique. Preuve élémentaire (Beck & Robins, Computing the Continuous Discretely) basée sur la formule d'Euler ΣF(-1)^dim F = 1 sur les faces d'un polytope. Application au théorème d'Ehrhart : le nombre de points entiers dans kP est une fonction quasi-polynomiale de k.
Structure de l'épreuve
- Partie I — Partie préliminaire — Fonctions quasi-polynomiales(1-4)Niveau attendu
Définition, propriétés élémentaires, exemples. Q1-Q3 globalement bien réussies (espace vectoriel, unicité, périodicité). Q4 plus difficile : développement (1-ωx)^(-p) et stabilité par produit (souvent utilisée sans démo).
- Partie II — Partie 1 — Décomposition d'un entier en parties(5-11)Difficile
Le nombre P(n) de décompositions de n en somme de multiples de k entiers fixés. Q5 majoration P(n) ≤ (n+1)^k. Q6-Q8 utilisent fonction génératrice et décomposition en éléments simples. Q11 finale très peu réussie.
- Partie III — Partie 2.1 — Polytopes : enveloppe convexe des sommets(12-18)Difficile
Définitions, équivalence polytope = enveloppe convexe d'un ensemble fini de points. Q12 propriétés des faces (souvent partiellement réussie). Q13 nombre fini de faces, existence d'un sommet (récurrence dimension). Q14 réciproque géométrique difficile.
- Partie IV — Partie 2.2 — Formule d'Euler(19-24)Très difficile
Démonstration par théorie des valuations (Klain & Rota). Q19 polytopes de R sont les segments. Q20 délicate (P ∩ {xn = z} est polytope ou vide). Très peu abordée au-delà de Q22.
- Partie V — Partie 2.3 — Triangulations(25-28)Très difficile
Tout polytope peut être triangulé en simplexes. Très peu abordée — réussite moyenne 1,3 % en moyenne, 5,6 % pour les 160 meilleures.
- Partie VI — Partie 3 — Polytope de Birkhoff(29-32)Difficile
Étude du polytope des matrices bistochastiques, sommets = matrices de permutation (théorème de Birkhoff-Von Neumann). Q29-Q32 raisonnablement réussies par les bonnes copies. Sert d'illustration.
- Partie VII — Parties 4 et 5 — Fractions rationnelles, Brion, Ehrhart(33-48)Très difficile
Développement des fractions rationnelles (4), séries d'Euler-Maclaurin sur cônes, théorème de Brion (5.2), théorème d'Ehrhart (5.3). Q33-Q36 partiellement traitées par les meilleures copies. Q39 et au-delà non abordées par la quasi-totalité.
Analyse globale du jury
« Sur 2362 inscrits, 1540 ont composé. Moyenne 5,91/20, écart-type 3,89, médiane 5,3. Note brute maximale possible 66,5 ; meilleure copie 31,9 (= 18/20 final). 157 admissibles Ulm avec moyenne 13,9/20 et plus mauvaise note admissible 6,7/20. Système bonus/malus de 1 point sur la note brute pour récompenser propreté et honnêteté. Barème explicite : préliminaire + partie 1 = 12,5/20 ; + partie 2.1 = 18,7/20 ; préliminaire + Q5-8 + Q12-14 = 11,6/20. Concepteur : Julien Marché. Coordinateur : Igor Kortchemski. »
Top pièges sanctionnés
Stabilité par produit des fonctions quasi-polynomiales utilisée sans démo-2 pts
« Il est à souligner que, ici et dans la suite, de nombreuses copies ont utilisé sans le démontrer le fait (vrai, mais non trivial) qu'un produit de fonctions quasi-polynomiales était quasi-polynomial. Cela a été sanctionné. »
Confondre produit terme à terme et produit de Cauchy-2 pts
« Cette stratégie de démonstration faisait intervenir des produits de Cauchy et non des produits termes à termes. De nombreuses copies sont passées à côté de cette difficulté. »
Cardinal de J0,n] mal calculé-1 pts
« À noter le nombre important d'erreurs commises sur le nombre d'éléments de l'ensemble J0, n]. [Le cardinal de J0,n] n'est pas n.] »
Espace vectoriel sans non-vide-1 pts
« Q.(1) Un espace vectoriel doit être non vide. »
Identifier coefficients sans vérifier que P et Q sont polynomes-1 pts
« Q.(2) Un nombre conséquent de copies identifie les coefficients terme à terme sans faire attention au fait que P et Q ne sont pas des polynômes. »
Sauter étapes pour conclure une formule donnée-3 pts
« Mentionnons que la formule attendue étant indiquée dans l'énoncé, certaines copies ont sauté des étapes dans le calcul pour conclure avoir obtenu le résultat obtenu, à partir de calculs intermédiaires ne suffisant pas pour conclure voire faux. Ceci a été fortement pénalisé dans la notation. »
Chapitres clés à maîtriser
Source : Rapport du jury X-ENS · Maths MP, session 2025 · PDF officiel ↗
Ressources
Téléchargements
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FAQ
